Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 28 стр.

                               I уточн = I h + Ro .                            4. Методы решения систем линейных алгебраических
     Последнее соотношение называется второй формулой Рунге. К сожалению,                         уравнений
погрешность уточненного значения остается неопределенной, хотя, как правило,
она меньше значения Ro.                                                           Методы решения систем линейных уравнений делятся на две группы –
     Процедура Эйткена дает возможность оценить погрешность метода O(hp) и     прямые и итерационные. Прямые методы используют конечные соотношения
указывает алгоритм уточнения результатов. Расчет проводится последовательно    (формулы) для вычисления неизвестных. Они дают решение после выполнения
три раза при различных шагах разбиения h1, h2, h3, причем их отношения         заранее известного числа операций. Эти методы сравнительно просты и наиболее
постоянны: h2/h1 = h3 / h2 = q (например, при делении шага пополам q = 0.5).   универсальны, т.е. пригодны для решения широкого класса систем линейных
Пусть в результате численного интегрирования получены значения интеграла I1,   уравнений.
I2, I3. Тогда уточненное значение интеграла вычисляется по формуле:               Вместе с тем прямые методы имеют и ряд недостатков. Как правило они
                                         (I1 − I 2 ) 2 ,                       требуют хранения в оперативной памяти ЭВМ сразу всей матрицы, и при
                                  I=I −
                                   1
                                       I1 − 2I 2 + I 3                         больших значениях n расходуется много места в памяти. Далее, прямые методы
а  порядок точности используемого метода численного интегрирования             обычно не учитывают структуру матрицы – при большом числе нулевых
определяется соотношением p = 1 ln I 3 − I 2 .                                 элементов в разряжённых матрицах (например, клеточных или ленточных) эти
                               ln q I 2 − I 1                                  элементы занимают место в памяти машины, и над ними проводятся
   Задание. Разработайте алгоритмы вычисления интеграла по методам             арифметические действия. Существенным недостатком прямых методов является
прямоугольников, трапеций, Симпсона, в котором приближенное значение           также накапливание погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления
интеграла уточняется с помощью метода Рунге и процедуры Эйткена.               на любом этапе используют результаты предыдущих операций. Это особенно
                                                                               опасно для больших систем, когда резко возрастает общее число операций, а
                                                                               также для плохо обусловленных систем, весьма чувствительных к погрешностям.
                                                                               В связи с этим прямые методы используются обычно для сравнения небольших
                       3.7. Контрольные вопросы                                (n < 200) систем с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю
                                                                               определителем.
    1. Геометрический смысл определенного интеграла.                              Отметим ещё, что прямые методы решения линейных систем иногда
    2. Какой зависимостью связан шаг интегрирования с количеством              называют точными, поскольку решение выражается в виде точных формул через
        интервалов?                                                            коэффициенты системы. Однако точное решение может быть получено лишь при
    3. Какой из рассматриваемых методов является самым точным, и как это       выполнении вычислений с бесконечным числом разрядов (разумеется, при
        определяется?                                                          точных значениях коэффициентов системы). На практике при использовании
    4. От чего зависит точность получаемого результата интегрирования?         ЭВМ вычисления проводятся с ограниченным числом знаков, определяемым
    5. Возможно ли получение точного значения результата методом трапеций      разрядностью машины. Поэтому неизбежны погрешности в окончательных
        для линейной подынтегральной функции?                                  результатах за счёт округления.
    6. Основной член погрешности методов интегрирования.                          Итерационные методы – это методы последовательных приближений. В них
    7. Почему для метода Симпсона число интервалов должно быть четным?         необходимо задать некоторое приближённое решение – начальное приближение.
    8. Что такое апостериорная оценка погрешности результата?                  После этого с помощью некоторого алгоритма проводится один цикл
    9. Может ли значение интеграла получиться отрицательным числом?            вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое
    10. Чему равен шаг при вычислении интеграла с заданной точностью?          приближение. Итерации проводятся до получения решения с требуемой
    11. Что дает процедура Эйткена?                                            точностью. Алгоритмы решения линейных систем с использованием
                                                                               итерационных методов обычно более сложные по сравнению с прямыми
                                                                               методами. Объём вычислений заранее определить трудно.
                                                                                  Тем не менее итерационные методы в ряде случаев предпочтительнее.
                                                                               Погрешности окончательных результатов не накапливаются, поскольку точность
                                                                               вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей

                                       55                                                                          56