Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

51
″
∗≈+
−
y
h
cc
h
i
ii
i
12
)(
12
3
1
3
,
где
∗
′′
y
-вторая производная в некоторой внутренней точке. Полученная оценка
показывает, что добавка к формуле трапеций, которую дает использование
сплайнов, компенсирует погрешность самой формулы трапеций.
Во всех предыдущих методах формулы численного интегрирования можно
условно записать в виде линейной комбинации табличных значений функции:
∫
∑
=
=
b
a
n
i
ii
ydxxf
0
)(
α
.
При использовании сплайнов такое представление невозможно, поскольку
сами коэффициенты
α
i
зависят от всех значений y
i
.
Блок-схема для интегрирования методом сплайнов представлена на рис. 34. В
программе следует записать формулы для расчета подынтегральной функции в
узлах интерполяции в виде подпрограммы FUNCTION.
При вычислении интеграла для накопления суммы можно было использовать
формулу (3.23):
In : = In + 0,5*h*( y[i-1] + y[i] – h
3
(c[i-1] + c
0
))/12 .
В этом случае следует опустить в программе расчет коэффициентов сплайна
b
i
, d
i
.
3.6. Погрешность численного интегрирования
В общем случае погрешность R
n
численного значения S
n
равна:
.)(
n
b
a
n
SdxxfR −=
∫
Она зависит от шага разбиения, и её можно представить в виде R
n
= O(h
k
). В
случае переменного шага можно принять h =
ni
i
h
≤≤1
max .
Из этого представления погрешности численного интегрирования следует,
что при h
→
0 (n
→
∞
) значение интеграла, получаемое путем численного
интегрирования, сходится к его точному значению. Заметим, что это имеет
место, если подынтегральная функция на конечном отрезке [a, b] достаточно
гладкая.
Оценим погрешность интегрирования для метода левых прямоугольников.
Для этого разложим подынтегральную функцию f(x) в ряд Тейлора около
«левой» точки х
k-1
:
...)(
!2
)(
)()()()(
1
2
1
111
+
′′
−
+
′
−+=
−
−
−−− k
k
kkk
xf
xx
xfxxxfxf
(3.24)
52
Начало
ввод
a, b, n
h: = (b-a)/n
x: = a - h
i : = 0, n
x: = x + h
y[i]: = f(x)
вычисление
подынтегральной
функции в узлах
i : = 1, n
a[i]: = y[i-1]
Расчет коэф-тов
трехдиагональной матрицы и
коэф-тов сплайна
c[i], d[i], b[i]
i: = 1,.., n (см. часть II рис. 7)
In: = 0
вычисление
интеграла
i : = 1, n
In : = In + а[i-1] *h + 0,5*b[i] *h
2
+ 1/3*c[i] *h
3
+ 1/4*d[i]*h
4
печать In
Конец
Рис.34. Блок-схема для интегрирования методом сплайнов.
                                         hi3                  h3                                                                        Начало
                                             ( ci −1 + c i ) ≈ i y ∗″ ,
                                         12                   12
                                                                                                                                          ввод
где y ∗′′ -вторая производная в некоторой внутренней точке. Полученная оценка                                                            a, b, n
показывает, что добавка к формуле трапеций, которую дает использование
сплайнов, компенсирует погрешность самой формулы трапеций.                                                                             h: = (b-a)/n
    Во всех предыдущих методах формулы численного интегрирования можно                                                                  x: = a - h                вычисление
условно записать в виде линейной комбинации табличных значений функции:                                                                                           подынтегральной
                                           b                  n                                                                                                   функции в узлах
                                                                                                                                         i : = 0, n
                                          ∫    f ( x ) dx = ∑ α i y i .
                                           a                 i =0

   При использовании сплайнов такое представление невозможно, поскольку                                                                x: = x + h
                                                                                                                                       y[i]: = f(x)
сами коэффициенты αi зависят от всех значений yi.
   Блок-схема для интегрирования методом сплайнов представлена на рис. 34. В
программе следует записать формулы для расчета подынтегральной функции в
                                                                                                                                         i : = 1, n
узлах интерполяции в виде подпрограммы FUNCTION.
   При вычислении интеграла для накопления суммы можно было использовать
формулу (3.23):                                                                                                                       a[i]: = y[i-1]
                                                                               3
                   In : = In + 0,5*h*( y[i-1] + y[i] – h (c[i-1] + c0))/12 .
     В этом случае следует опустить в программе расчет коэффициентов сплайна
b i, d i.                                                                                                                            Расчет коэф-тов
                3.6. Погрешность численного интегрирования                                                                   трехдиагональной матрицы и
                                                                                                                                    коэф-тов сплайна
                                                                                                                                        c[i], d[i], b[i]
                                                                                                                             i: = 1,.., n (см. часть II рис. 7)
   В общем случае погрешность Rn численного значения Sn равна:
                                                  b
                                         R n = ∫ f ( x )dx − S n .
                                                                                                                                          In: = 0
                                                                                                                                                                   вычисление
                                                  a                                                                                                                интеграла
                                                                                                                                          i : = 1, n
   Она зависит от шага разбиения, и её можно представить в виде Rn = O(hk). В
случае переменного шага можно принять h = max hi .
                                                                    1≤ i ≤ n                                In : = In + а[i-1] *h + 0,5*b[i] *h 2 + 1/3*c[i] *h 3 + 1/4*d[i]*h 4
   Из этого представления погрешности численного интегрирования следует,
что при h → 0 (n → ∞) значение интеграла, получаемое путем численного
интегрирования, сходится к его точному значению. Заметим, что это имеет                                                                  печать In
место, если подынтегральная функция на конечном отрезке [a, b] достаточно
гладкая.
   Оценим погрешность интегрирования для метода левых прямоугольников.                                                                      Конец
Для этого разложим подынтегральную функцию f(x) в ряд Тейлора около
                                                                                                        Рис.34. Блок-схема для интегрирования методом сплайнов.
«левой» точки хk-1 :
                                                           ( x − xk −1 )           2
    f ( x ) = f ( xk −1 ) + ( x − xk −1 ) f ′( xk −1 ) +                 f ′′( xk −1 ) + ...   (3.24)
                                                                2!


                                                      51                                                                                      52

Страницы