ВУЗ:
Составители:
49
nfDconstfIfS
n
/)()()( ⋅≤− ,
где I(f) - точное значение интеграла, S
n
(f) – приближенное значение интеграла,
D(f) – дисперсия подынтегральной функции. Из формулы видно, что точность
оценки интеграла обратно пропорциональна квадратному корню из числа
испытаний n. Это обстоятельство обуславливает сравнительно медленную
сходимость метода Монте-Карло: например, чтобы уменьшить погрешность
результата в 10 раз, число испытаний необходимо увеличить в 100 раз.
3.5. Использование сплайнов для численного интегрирования
Одним из методов численного интегрирования, особенно эффективным при
строго ограниченном числе узлов, является метод сплайнов, использующий
интерполяцию сплайнами (часть II, глава 1.4).
Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n частей точками x
i
. Пусть x
i
-
x
i-1
= h
i
(i=1,2,…, n). На каждом элементарном отрезке интерполируем
подынтегральную функцию f(x) с помощью кубического сплайна:
3
1
2
11
)()()()(
−−−
−+−+−+=
iiiiiiii
xxdxxcxxbax
ϕ
,
i=1,2,…,n. (3.21)
Выражение для интеграла представим в виде:
∑
∫∫
∑
∫
==
−−
≈==
n
i
x
x
i
b
a
n
i
x
x
i
i
i
i
dxxdxxfdxxfI
11
11
)()()(
ϕ
.
Начало
n: = 11
I: = 0
n
0
: = 1
Процедура
INTEG
(3*sig)/√n ≤ ε
да
печать
n, I*(b-a)
Конец
n
0
: = n
n: =TRUNC((9*sig
2
)/
ε
2
)
нет
Процедура
INTEG
Рис.32. Блок-схема основной программы метода Монте-Карло.
Ввод
ε
50
Используя выражение (3.21), в результате вычислений находим
)
4
1
3
1
2
1
(
43
2
1
iiiiiiii
n
i
hdhchbhaI +++≈
∑
=
. (3.22)
Коэффициенты a
i
, b
i
, c
i
, d
i
находятся по формулам (1.27)-(1.29) (часть II,
глава 1), учитывая, что a
i
= y
i-1
. Для практических расчетов формула (3.22)
может быть представлена в виде:
)(
12
1
)(
2
1
1
1
3
1
1
ii
n
i
iii
n
i
i
cchyyhI +−+≈
−
=
−
=
∑∑
. (3.23)
Анализ этой формулы показывает, что первый член в правой части совпадает
с правой частью формулы (3.8) для метода трапеций. Следовательно, второй
член характеризует поправку к методу трапеций, которую дает метод сплайнов.
Как следует из формулы (3.21) коэффициенты c
i
выражаются через вторые
производные
)( x
i
″
ϕ
:
″
≈
″
=
− iiii
yxc
2
1
)((
2
1
1
ϕ
.
Это позволяет оценить второй член правой формулы (3.23):
I: = (n
0
-1)*I
Начало
j: = n
0
, n
x: = random(b-a)+a
R[j]: = f(x)
I: = I + R[j]
I: = I/n
D: =0
j
: = 1, n
D: = (R[j]-I)
2
+ D
sig: = SQRT (D/(n-1))
Конец
расчет
диспе
р
сии
Рис.33. Блок-схема процедуры INTEG(n
0
, n: integer; var sig, I: real);
метода Монте-Карло.
S n ( f ) − I ( f ) ≤ const ⋅ D( f ) / n , Н ачало
где I(f) - точное значение интеграла, Sn(f) приближенное значение интеграла, I: = (n 0 -1)*I
D(f) дисперсия подынтегральной функции. Из формулы видно, что точность
оценки интеграла обратно пропорциональна квадратному корню из числа
испытаний n. Это обстоятельство обуславливает сравнительно медленную j: = n 0 , n
сходимость метода Монте-Карло: например, чтобы уменьшить погрешность
результата в 10 раз, число испытаний необходимо увеличить в 100 раз. x: = random (b-a)+a
Начало
R [j]: = f(x)
I: = I + R [j]
Ввод ε
n: = 11
I: = 0
I: = I/n
n 0: = 1
D : =0
расчет
Процедура дисперсии
INTEG j: = 1, n
sig: = SQ R T (D /(n-1))
да
(3*sig)/√n ≤ ε D : = (R [j]-I) 2 + D
К онец
нет
n 0: = n Рис.33. Блок-схема процед уры IN T E G (n 0 , n: integer; var sig, I: real);
n: =TRUNC((9*sig 2 )/ε 2 ) печать метода М онте-К арло.
n, I*(b-a)
Процедура Используя выражение (3.21), в результате вычислений находим
INTEG Конец n
1 1 1
(a h + b h 2 + c h + d h ) .
∑ (3.22)
3 4
I ≈ i i i i i i i i
i =1 2 3 4
Рис.32. Блок-схема основной программы метода Монте-Карло. Коэффициенты ai, bi, ci, di находятся по формулам (1.27)-(1.29) (часть II,
3.5. Использование сплайнов для численного интегрирования глава 1), учитывая, что ai = yi-1. Для практических расчетов формула (3.22)
может быть представлена в виде:
Одним из методов численного интегрирования, особенно эффективным при 1 n 1 n 3
строго ограниченном числе узлов, является метод сплайнов, использующий I ≈ ∑ h i ( y i −1 + y i ) − ∑ h i ( c i −1 + c i ) . (3.23)
интерполяцию сплайнами (часть II, глава 1.4). 2 i =1 12 i =1
Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n частей точками xi. Пусть xi - Анализ этой формулы показывает, что первый член в правой части совпадает
xi-1 = hi (i=1,2, , n). На каждом элементарном отрезке интерполируем с правой частью формулы (3.8) для метода трапеций. Следовательно, второй
подынтегральную функцию f(x) с помощью кубического сплайна: член характеризует поправку к методу трапеций, которую дает метод сплайнов.
Как следует из формулы (3.21) коэффициенты ci выражаются через вторые
ϕ i ( x ) = a i + bi ( x − x i −1 ) + c i ( x − x i −1 ) 2 + d i ( x − x i −1 ) 3 ,
производные ϕ i ″ ( x ) :
i=1,2, ,n. (3.21)
1 ″ 1 ″
Выражение для интеграла представим в виде: (ϕ i ( x i − 1 ) ≈ y i .
ci =
b n xi n xi 2 2
I = ∫ f ( x ) dx = ∑ ∫
i =1 xi −1
f ( x ) dx ≈ ∑ ∫ϕ
i =1 xi −1
i ( x ) dx . Это позволяет оценить второй член правой формулы (3.23):
a
49 50
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
