Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

53
Интегрируя данное разложение почленно на интервале [x
k-1
; x
k-1
+h] получим:
,...)(
2
)(
...)(
2
)(
)(
1
2
1
1
2
1
1
1
1
kkkk
k
hx
x
k
kточн
RSxf
h
hxf
xf
xx
hxfI
k
k
+=+
′
+=
=+
′
⋅
−
+=
−−
−
+
−
−
−
−
(3.25)
где S
k
– интегральная сумма, R
k
– погрешность вычисления интеграла на
интервале [x
k-1
; x
k-1
+h].
При малой величине шага h основной вклад в погрешность будет вносить
слагаемое
)(
2
1
2
−
′
k
xf
h
, которое называется главным членом погрешности R
ок
вычисления интеграла на интервале [x
k-1
, x
k-1
+h]:
Главный член полной погрешности для интеграла на всем интервале [x
0,
x
n
]
определится путем суммирования погрешностей на каждом частичном интервале
[x
k-1
, x
k-1
+h]:
∫
∑∑
′
=
′
⋅==
=
−
=
b
a
n
k
k
n
k
oko
dxxf
h
xfh
h
RR )(
2
)(
2
1
1
1
,
)(
2
ξ
fh
ab
R
o
′
⋅
−
= , где
ba
≤
≤
ξ
. (3.26)
Данная формула представляет собой теоретическую оценку погрешности
вычисления интеграла методом левых прямоугольников. Эта оценка является
априорной, т.к. не требует знания значения вычисляемого интеграла. Эта оценка
не удобна для практического вычисления погрешности, но полезна для
установления структуры главного члена погрешности. Степень при шаге h в
формуле главного члена погрешности, называется
порядком точности метода
интегрирования
. Чем больше степень при h, тем точнее метод. Таким образом,
метод левых прямоугольников имеет первый порядок точности.
Далее без вывода приводятся формулы главных членов погрешности для
методов, рассматриваемых в данной главе.
Для метода правых прямоугольников:
)(
2
ξ
fh
ab
R
o
′
⋅
−
−= , где
ba
≤
≤
ξ
. (3.27)
Для метода средних прямоугольников:
)(
24
2
ξ
fh
ab
R
o
′′
⋅
−
= , где ba
≤
≤
ξ
. (3.28)
Для метода трапеций:
)(
12
2
ξ
fh
ab
R
o
′′
⋅
−
−= , где ba
≤
≤
ξ
. (3.29)
54
Для метода Симпсона:
)(
180
4
ξ
IV
o
fh
ab
R ⋅
−
−= , где ba
≤
≤
ξ
. (3.30)
Анализируя данные формулы, можно сделать вывод, что самым точным из
этих методов является метод Симпсона, а точность метода трапеций в два раза
меньше точности метода средних прямоугольников.
Апостериорные оценки погрешностей по методу Рунге и
процедуре Эйткена
Априорные оценки главного члена погрешности методов интегрирования
можно записать в виде:
p
o
hAR ⋅=
, (3.31)
где А – коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида
подынтегральной функции; h – шаг интегрирования; р - порядок точности
метода.
Пусть вычисляется значение некоторой переменной I с шагом h, тогда:
)(
1+
+⋅+=
pp
h
hOhAII
, (3.32)
где I
h
– приближенное значение I; A
⋅
h
p
– главный член погрешности;
)(
1+p
hO
-
пренебрежимо малая величина.
Вычислим ту же самую величину I с шагом kh:
))(()(
1+
+⋅+=
pp
kh
khOkhAII
, (3.33)
где коэффициент пропорциональности k может быть как больше, так и меньше 1.
Коэффициент А в выражениях (3.32) и (3.33) будет одинаковым, т.к. вычисляется
одна и та же величина одним и тем же методом, а от величины шага h значение А
не зависит.
Пренебрегая бесконечно малыми величинами, приравняем правые части
соотношений (3.32) и (3.33) и с учетом фор
мулы (3.31) получим:
o
p
khoh
RkIRI +=+ ,
откуда найдем R
o
:
1
−
−
=
p
khh
o
k
II
R
. (3.34)
Формула (3.34) называется первой формулой Рунге и позволяет путем
двойного пересчета величины I с шагами h и kh оценить погрешность. Т.к.
оценка осуществляется после вычисления I, то она является апостериорной.
После определения R
o
можно вычислить уточненное значение искомой
величины: 
                                                                                                         Для метода Симпсона:
   Интегрируя данное разложение почленно на интервале [xk-1; xk-1+h] получим:
                                      ( x − xk −1 ) 2                                                                               b − a 4 IV
           I точн = f ( xk −1 )h +                      xk −1 + h
                                                        xk −1       ⋅ f ′( xk −1 ) + ... =                                 Ro = −        h ⋅ f (ξ ) , где a ≤ ξ ≤ b .          (3.30)
                                            2                                                (3.25)                                 180
                              h2
           = f ( xk −1 )h +      f ′( xk −1 ) + ... = S k + Rk ,                                         Анализируя данные формулы, можно сделать вывод, что самым точным из
                              2                                                                       этих методов является метод Симпсона, а точность метода трапеций в два раза
где Sk – интегральная сумма, Rk – погрешность вычисления интеграла на                                 меньше точности метода средних прямоугольников.
интервале [xk-1; xk-1+h].
    При малой величине шага h основной вклад в погрешность будет вносить                                            Апостериорные оценки погрешностей по методу Рунге и
                 2
слагаемое h f ′( xk −1 ) , которое называется главным членом погрешности Rок                                                        процедуре Эйткена
                2
вычисления интеграла на интервале [xk-1, xk-1+h]:                                                       Априорные оценки главного члена погрешности методов интегрирования
    Главный член полной погрешности для интеграла на всем интервале [x0, xn]                          можно записать в виде:
определится путем суммирования погрешностей на каждом частичном интервале                                                               Ro = A ⋅ h p ,               (3.31)
[xk-1, xk-1+h]:                                                                                       где А – коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида
                              n  h n                   hb                                             подынтегральной функции; h – шаг интегрирования; р - порядок точности
                   Ro = ∑ Rok = ∑ h ⋅ f ′( xk −1 ) = ∫ f ′( x)dx ,                                    метода.
                        k =1     2 k =1                2a
                                                                                                         Пусть вычисляется значение некоторой переменной I с шагом h, тогда:
                           b−a                                                                                                   I = I h + A ⋅ h p + O(h p +1 ) ,
                    Ro =       h ⋅ f ′(ξ ) , где a ≤ ξ ≤ b .                                 (3.26)                                                                          (3.32)
                             2                                                                        где Ih – приближенное значение I; A⋅hp – главный член погрешности; O(h p +1 ) -
   Данная формула представляет собой теоретическую оценку погрешности
                                                                                                      пренебрежимо малая величина.
вычисления интеграла методом левых прямоугольников. Эта оценка является
                                                                                                          Вычислим ту же самую величину I с шагом kh:
априорной, т.к. не требует знания значения вычисляемого интеграла. Эта оценка
не удобна для практического вычисления погрешности, но полезна для                                                                 I = I kh + A ⋅ (kh) p + O ((kh) p +1 ) ,   (3.33)
установления структуры главного члена погрешности. Степень при шаге h в                               где коэффициент пропорциональности k может быть как больше, так и меньше 1.
формуле главного члена погрешности, называется порядком точности метода                               Коэффициент А в выражениях (3.32) и (3.33) будет одинаковым, т.к. вычисляется
интегрирования. Чем больше степень при h, тем точнее метод. Таким образом,                            одна и та же величина одним и тем же методом, а от величины шага h значение А
метод левых прямоугольников имеет первый порядок точности.                                            не зависит.
   Далее без вывода приводятся формулы главных членов погрешности для                                     Пренебрегая бесконечно малыми величинами, приравняем правые части
методов, рассматриваемых в данной главе.                                                              соотношений (3.32) и (3.33) и с учетом формулы (3.31) получим:
   Для метода правых прямоугольников:                                                                                               I h + Ro = I kh + k p Ro ,
                                     b−a
                        Ro = −           h ⋅ f ′(ξ ) , где a ≤ ξ ≤ b .                       (3.27)   откуда найдем Ro:
                                      2                                                                                                    I h − I kh
   Для метода средних прямоугольников:                                                                                              Ro =              .                       (3.34)
                                                                                                                                            k p −1
                                  b−a 2
                      Ro =            h ⋅ f ′′(ξ ) , где a ≤ ξ ≤ b .                         (3.28)      Формула (3.34) называется первой формулой Рунге и позволяет путем
                                   24                                                                 двойного пересчета величины I с шагами h и kh оценить погрешность. Т.к.
   Для метода трапеций:                                                                               оценка осуществляется после вычисления I, то она является апостериорной.
                                   b−a 2                                                                 После определения Ro можно вычислить уточненное значение искомой
                      Ro = −           h ⋅ f ′′(ξ ) , где a ≤ ξ ≤ b .                        (3.29)   величины:
                                    12
                                                 53                                                                                            54

Страницы