Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 23 стр.

                                                                                                   Вычисление определенных интегралов по методу Монте-Карло
                      B 1 2 3                     .       NС                                                                                  1
                                                                                               Рассмотрим интеграл                                f ( x ) dx .                                           (3.17)
                        1                                                                                                           I =      ∫0
                        2                                                                                                                              1
                                                                                               Функция f(x) должна быть такой, что
                                                                                                                                                       ∫           ( x ) dx тоже существует.
                                                                                                                                                               2
                        3                                                                                                                                  f
                        :                                                                                                                              0

                        :                                                                       Пусть η - равномерно распределенная на отрезке [0, 1] случайная величина,
                                                                                            то есть ее плотность распределения задается соотношением:
                       M                                                                                                                     1,    0 ≤η ≤1
                      А                                    D                                                                  P (η ) =
                                    Рис. 28                                                                                                  0,    η ∉ [0,1]
   Следовательно, задача статистических испытаний сводится к задаче                            Тогда кусочно-непрерывная функция        ξ=f(η) также будет случайной
получения набора случайных чисел, распределенных равномерно на наборе                       величиной, и ее математическое ожидание равно
[1…M, 1 N]. Задается случайная величина ξ, математическое ожидание которой                                                               1                              1
равно искомой площади фигуры z, т. е.                                                                                        M [ξ ] = ∫ f ( x) Pη ( x)dx = ∫ f ( x)dx = I ,                              (3.18)
                                     z=М(ξ).                          (3.11)                                                             0                              0
   Осуществляется серия n независимых испытаний, в результате которых                                                             n
получается (генерируется) последовательность n случайных чисел ξ1, ξ2, , ξn,                таким образом (рис.29), I ≈ ξ n = 1 ∑ f (ηi ) = f ( x ) ,                                                    (3.19)
по совокупности этих значений приближенно определяется искомая величина                                                       n i =1
                              ξ + ξ 2 + ... + ξ n                                           где ηi - независимые реализации случайной величины η.
                          ξ = 1                   ≈ z .               (3.12)
                                          n
                                                                                                                    y
                                        1 n       1 n           n∗z
   Следовательно,         M [ξ n ] = M [ ∑ ξ i ] = ∑ M [ξ i ] =     =z.        (3.13)                                                                                  f(x)
                                        n i =1    n i =1         n
Если дисперсия конечна D[ξ] = σ 2, то                                                                             f(x)

                                    1 n               n ∗σ 2 σ 2
                       D [ξ n ] =       ∑ i
                                    n 2 i =1
                                             D [ξ ] =
                                                        n2
                                                            =
                                                              n
                                                                 .                 (3.14)

   Причем в силу центральной предельной теоремы распределение случайной
величины ξ асимптотически нормально. Поэтому при достаточно большом n                                                    0                                         1          x
(практически при n ≥11) согласно (3.13), (3.14) и известному правилу "трех                                                        Рис. 29.
сигм" имеем:                                                                                                                                                                      1
                                                 σ                                             Поскольку наряду с (3.17) по предположению существует
                                                                                                                                                                                  ∫f       ( x)dx , то
                                                                                                                                                                                       2
                            р( z − ξ < 3              ) ≈ 0 . 997 ,                (3.15)
                                             n                                                                                                                                    0

то есть неравенство z − ξ < 3 σ         выполняется с вероятностью        0,997.      На                         σ 2 = D [ f (η )] = M [ f 2 (η )] − ( M [ f (η )]) 2 .
                                    n                                                          Так как
практике, если σ неизвестна, но во всяком случае, конечна, то ее оценивают                               D x = M [ X − M [ x ]] 2 = M [ x 2 − 2 x ⋅ M [ x ] + ( M [ x ]) 2 ] =
при n ≥11 по формуле:
                                                                                                         = M ( x 2 ) − 2 ⋅ ( M [ x ]) 2 + ( M [ x ]) 2 = M ( x 2 ) − ( M [ x ]) 2
                                                      n
                                                1                     .            (3.16)
                                    σ =             ∑ (ξ i − ξ ) 2
                                              n − 1 i =1

                                          45                                                                                                      46