ВУЗ:
Составители:
41
3.3. Метод Симпсона
Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на четное число n равных частей с
шагом
h. На каждом отрезке [x
0
,x
2
], [x
2
,x
4
],…, [x
i-1
,x
i+1
],…, [x
n-2
,x
n
]
подынтегральную функцию
f(x) заменим интерполяционным многочленом
второй степени:
iiii
cxbxaxxf ++=≈
2
)()(
ϕ
при
11 +−
≤
≤
ii
xxx
.
Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий
равенства многочлена в точках
x
i
соответствующим табличным данным y
i
=f(x
i
).
В качестве
ϕ
i
(x) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй
степени, проходящей через точки
M
i-1
(x
i-1
,y
i-1
), M
i
(x
i
,y
i
), M
i+1
(x
i+1
,y
i+1
) (рис. 24):
1
111
1
11
11
1
111
1
))((
))((
))((
))((
))((
))((
)(
+
+−+
−
+−
+−
−
+−−
+
−−
−
−
+
−−
−−
+
−−
−
−
=
i
iiii
ii
i
iiii
ii
i
iiii
ii
i
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
x
ϕ
.
Элементарная площадь s
i
может быть вычислена с помощью определенного
интеграла. Учитывая равенства
x
i+1
-x
i
= x
i
-x
i-1
= h, получаем:
[]
).4(
3
))(())((2))((
2
1
)(
11
111111
2
1
1
1
1
+−
+−+−−+
++=
=−−+−−−−−≈=
∫∫
+
−
+
−
iii
x
x
iiiiiiiii
x
x
ii
yyy
h
dxyxxxxyxxxxyxxxx
h
dxxs
i
i
i
i
ϕ
h: = (b-a)/n
S: = 0
x : = a
i: = 1, n-1
x : = x + h
S: = S + f(x)
S: = (2
⋅
S+f(a)+f(b))
⋅
0.5
⋅
h
Конец
Начало
Р
ис.24.Блок-схема процедуры IN(N:integer; var S: real);
для вычисления интеграла методом трапеций.
42
y
x
x
i-1
x
i
0
x
i+1
2h
s
i
M
i-1
M
i
M
i
+1
y =
ϕ
i
(x)
Рис. 25
Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка [
x
i-1
,x
i+1
],
просуммируем полученные выражения:
).42...2424(
3
1243210 nnn
yyyyyyyy
h
S ++++++++=
−−
Данное выражение для
S принимается в качестве значения определенного
интеграла:
=+++++++++≈
−−
∫
])...(2)...(4[
3
)(
2421310 nnn
b
a
yyyyyyyy
h
dxxf
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⋅+++⋅=
∑
=
n
i
in
ycyy
h
1
0
)3(
3
, (3.10)
где
с =
Полученное соотношение называется формулой Симпсона.
Эту формулу можно получить и другими способами, например
комбинированием формул прямоугольников и трапеций или двукратным
применением метода трапеций при разбиении отрезка [
a, b] на части с шагами h
и
2h. При этом важно добиться, чтобы главные части погрешностей этих методов
при сложении уничтожались.
Число узлов в методе Симпсона обязательно должно быть четным, так как
каждый третий узел используется два раза – он служит окончанием одной
параболы и началом следующей. Точность метода Симпсона пропорциональна h
4
(3.30).
Блок-схема программы для вычисления интеграла методом Cимпсона
представлена на рис.26.
-1 при i нечетном
1 при i четном
Начало y
Mi+1
h: = (b-a)/n
y =ϕi(x)
S: = 0 Mi-1
x:=a Mi
i: = 1, n-1
si
x:=x+h
S: = S + f(x) 2h
0 xi-1 xi xi+1 x
S: = (2⋅S+f(a)+f(b))⋅0.5⋅h
Рис. 25
Конец Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка [xi-1,xi+1],
просуммируем полученные выражения:
Рис.24.Блок-схема процедуры IN(N:integer; var S: real); h
для вычисления интеграла методом трапеций. S = ( y 0 + 4 y1 + 2 y 2 + 4 y 3 + 2 y 4 + ... + 2 y n − 2 + 4 y n −1 + y n ).
3
Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного
3.3. Метод Симпсона интеграла:
b
h
Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на четное число n равных частей с ∫ f ( x)dx ≈ 3 [y 0 + 4( y1 + y3 + ... + y n−1 ) + 2( y 2 + y 4 + ... + y n− 2 ) + y n ] =
шагом h. На каждом отрезке [x0,x2], [x2,x4], , [xi-1,xi+1], , [xn-2,xn] a
подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом h ⎧ n
⎫
= ⋅ ⎨ y 0 + y n + ∑ (c + 3) ⋅ y i ⎬ , (3.10)
второй степени: 3 ⎩ i =1 ⎭
f ( x ) ≈ ϕ i ( x ) = a i x 2 + b i x + c i при x i −1 ≤ x ≤ x i +1 . -1 при i нечетном
где с=
Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий 1 при i четном
равенства многочлена в точках xi соответствующим табличным данным yi=f(xi). Полученное соотношение называется формулой Симпсона.
В качестве ϕi(x) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй Эту формулу можно получить и другими способами, например
степени, проходящей через точки Mi-1(xi-1,yi-1), Mi(xi,yi), Mi+1(xi+1,yi+1) (рис. 24): комбинированием формул прямоугольников и трапеций или двукратным
применением метода трапеций при разбиении отрезка [a, b] на части с шагами h
(x − xi )(x − xi+1 ) (x − xi−1 )(x − xi+1 ) (x − xi−1 )(x − xi ) и 2h. При этом важно добиться, чтобы главные части погрешностей этих методов
ϕi (x) = yi−1 + yi + yi+1 . при сложении уничтожались.
(xi−1 − xi )(xi−1 − xi+1 ) (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) (xi+1 − xi−1 )(xi+1 − xi ) Число узлов в методе Симпсона обязательно должно быть четным, так как
Элементарная площадь si может быть вычислена с помощью определенного каждый третий узел используется два раза он служит окончанием одной
интеграла. Учитывая равенства xi+1-xi = xi-xi-1 = h, получаем: параболы и началом следующей. Точность метода Симпсона пропорциональна h4
xi +1 xi +1
1 (3.30).
si = ∫ ϕ i ( x)dx ≈
xi −1
2h 2 ∫ [( x − x )(x − x
xi −1
i i +1 ) yi −1 − 2( x − xi −1 )( x − xi +1 ) yi + ( x − xi −1 )( x − xi ) yi +1 ] dx =
Блок-схема программы для вычисления интеграла методом Cимпсона
h представлена на рис.26.
= ( yi −1 + 4 yi + yi +1 ).
3
41 42
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
