Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

39
x
x
i-1
x
i
h
i
y
i
y
i-1
0
( x
i
, y
i
)
(x
i-1
, y
i-1
)
f(
x
)
f(
x
)
Рис. 22
Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований
на высоту:
i
ii
i
h
yy
s
2
1+
+
=
при i=0,1,…,n-1.
Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного
интегрирования:
∑
∫
−
=
+
+≈
1
0
1
)(
2
1
)(
n
i
iii
b
a
yyhdxxf
. (3.8)
При
h
i
= h = const формула примет вид:
)2(
2
)(
1
1
0
∑
∫
−
=
++≈
n
i
i
b
a
n
yyy
h
dxxf
. (3.9)
Точность вычисления интеграла по методу трапеций пропорциональна
h
2
(3.29).
Чтобы найти значение приближенной величины, например, значение
интеграла с заданной точностью, нужно вычислить интеграл
I
1
с шагом h
1
, затем
вычисляется интеграл
I
2
с шагом h
1
= h
1
/2. Если ⏐I
2
⏐≥ 1, то близость
приближённых значений двух величин устанавливается по критерию:
⏐( I
2
-I
1
)/ I
2
⏐≤ ε . (3.10),
При
⏐I
2
⏐< 1 близость двух приближенных величин устанавливается по критерию
⏐I
2
-I
1
⏐≤ ε. (3.11)
Если критерий не выполняется, то вычисляем интеграл
I
3
с шагом h
3
= h
2
/2 и
снова сравниваем по критериям близости значения
I
2
и I
3
.
Деление шага пополам эквивалентно двукратному увеличению числа
разбиения
n отрезка интегрирования. Блок-схема программы для вычисления
интеграла методом трапеций с заданной точностью представлена на рис.23-24.
40
да
да
да
да
N
: = TRUNC ((b-a) / SQRT(
ε
))
B: = FALSE
Процедура IN ( N, I
2
)
I
1
: = I
2
N: =2*N
⎜
I
2
⎜ ≥
1
⎜
(I
2
-I
1
)/I
2
⎜
≤
ε
B: = TRUE
B = TRUE
печать
I
2
, N
⎜
I
2
-I
1
⎜
≤
ε
B: = TRUE
нет
нет
нет
нет
Начало
Конец
Процедура IN ( N, I
2
)
Рис.23. Блок-схема программы для вычисления интеграла методом трапеций
с заданной точностью
                                                                            f(x)
               f(x)                                       ( xi , yi )
                                                                                                                            Начало
                         (xi-1 , yi-1 )
                                                                                                              N: = TRUNC ((b-a) / SQRT( ε ))
                                                                                                                      B: = FALSE

                             yi-1                        yi                                                      Процедура IN ( N, I 2 )

                                                                                                                           I1 : = I 2
                                                                                                                          N: =2*N

                 0               xi-1       hi      xi                  x
                                                                                                                 Процедура IN ( N, I 2 )
                                          Рис. 22

   Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований                                          нет
                                                                                                                             ⎜ I2⎜≥ 1
на высоту:
                                 y + y i +1
                           si = i           hi при i=0,1, ,n-1.                      нет                                           да
                                      2                                                     ⎜ I2-I 1⎜≤ ε
                                                                                                                                              нет
   Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного                                               ⎜(I2 -I1 )/I 2 ⎜≤ ε
интегрирования:                                                                                     да
                                    b
                                                 1 n −1                                     B: = TRUE                              да
                                   ∫a f ( x)dx ≈ 2 ∑
                                                   i =0
                                                        hi ( y i + yi +1 ) . (3.8)
                                                                                                                        B: = TRUE
   При hi = h = const формула примет вид:
                        b                                  n −1
                                       h
                       ∫a f ( x)dx ≈ 2 ( y 0 + y n + 2∑          yi ) .      (3.9)                                                           нет
                                                                                                                        B = TRUE
                                                           i =1

                                                                                                                                   да
   Точность вычисления интеграла по методу трапеций пропорциональна h2 (3.29).                                              печать
   Чтобы найти значение приближенной величины, например, значение                                                            I2 , N
интеграла с заданной точностью, нужно вычислить интеграл I1 с шагом h1, затем
вычисляется интеграл I2 с шагом h1 = h1/2. Если ⏐I2 ⏐≥ 1, то близость
                                                                                                                            Конец
приближённых значений двух величин устанавливается по критерию:
                                    ⏐( I2-I1 )/ I2⏐≤ ε .               (3.10),
При⏐I2 ⏐< 1 близость двух приближенных величин устанавливается по критерию
                                                                                     Рис.23. Блок-схема программы для вычисления интеграла методом трапеций
                                 ⏐I2-I1⏐≤ ε.                            (3.11)                с заданной точностью
Если критерий не выполняется, то вычисляем интеграл I3 с шагом h3 = h2/2 и
снова сравниваем по критериям близости значения I2 и I3.
   Деление шага пополам эквивалентно двукратному увеличению числа
разбиения n отрезка интегрирования. Блок-схема программы для вычисления
интеграла методом трапеций с заданной точностью представлена на рис.23-24.

                                             39                                                                           40

Страницы