Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 18 стр.

   Другими методами, которые могут быть использованы для вычисления
интегралов, является представление подынтегральной функции в виде
степенного ряда (ряда Тейлора). Это позволяет свести вычисление интеграла от                              Начало
сложной функции к интегрированию многочлена, представляющего первые
несколько членов ряда.
   Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтегральной                                           ввод
функции сплайнами, представляющими собой кусочный полином. Методы                                          n, a, b
различаются по типу выбранных сплайнов.
   В методах Монте-Карло узлы выбираются с помощью датчика случайных
чисел. Полученное значение интеграла носит вероятностный характер.                                      h: = (b-a)/n
                                                                                                           x: = a
                                                                                                           S: = 0
                     3.1. Методы прямоугольников
   Простейшими методами численного интегрирования являются методы                                        i: = 0, n-1
прямоугольников. В этих методах подынтегральная функция на интервале
интегрирования заменяется полиномом нулевой степени или константой.
Подобная замена является неоднозначной, т.к. константу можно выбрать равной                            S: = S + f(x)
значению подынтегральной функции в любой точке в интервале интегрирования.                              x: = x + h
В зависимости от этого методы прямоугольников делятся на методы левых,
правых и средних прямоугольников.
   Обозначим yi=f(xi), hi=Δxi. Площадь элементарного прямоугольника
рассчитывается по формуле: Si = yi ⋅ hi . Точность метода прямоугольников
                                                                                                         y=S*h
пропорциональна h (3.26).
   Для метода левых прямоугольников (блок-схема на рис. 19) в качестве точек ξi
выбираются левые границы элементарных отрезков: ξi=xi (i=0,1, n-1). Для
                                                                                                         печать y
этого случая получаем следующую формулу:
                          b

                          ∫ f ( x)dx ≈ h y1 0   + h2 y1 + ... + hn yn −1 .
                          a
                                                                                                          Конец
   При hi = h = const формула примет вид:
                              b                   n−1
                                  f ( x)dx ≈ h∑ f ( xi ) .                   (3.5а)   Рис.19. Блок-схема метода левых прямоугольников.
                              ∫
                              a                   i =0

    Для метода правых прямоугольников (блок-схема на рис. 20) в качестве точек
ξi выбираются правые границы элементарных отрезков (ξi=xi+1), и формула
выглядит следующим образом:
                          b

                          ∫ f ( x)dx ≈ h y1 1    + h2 y 2 + ... + hn y n .
                          a

   При hi=h=const:
                              b                  n
                                                             .               (3.5б)
                              ∫ f ( x)dx ≈ h∑ f ( x )
                              a                 i =1
                                                         i




                                           35                                                                        36