Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 17 стр.

   3. Методы вычисления определенных интегралов                                                                                 Вычисление суммы (3.2) дает простейший пример численного
                                                                                                                             интегрирования. А верхняя S2 и нижняя S1 суммы Дарбу определяют величину
   Требуется вычислить определенный интеграл:                                                                                погрешности S, а именно:
                                                                   b                                                                                   I − S ≤ S 2 − S1 , где
                                                            I =∫       f ( x) dx .                                   (3.1)                                  n −1

                                                                   a
                                                                                                                                                       S1 = ∑ mi ( xi +1 − xi ); mi = min f ( x ),
                                                                                                                                                                                               xi ≤ x ≤ xi +1
                                                                                                                                                            i =0
   Геометрический смысл простейшего определенного интеграла от                                                                                               n −1
неотрицательной функции f(x)≥0 состоит в том, что значение I – это площадь,                                                                            S 2 = ∑ M i ( xi +1 − xi ); M i = max f ( x).
                                                                                                                                                                                                  xi ≤ x ≤ xi +1
                                                                                                                                                             i =0
ограниченная кривой y=f(x), осью абсцисс и прямыми х=а, х=b (рис. 18).
   Напомним определение интеграла Римана от f(x) , записываемого в виде (3.1).                                                  Разнообразные формулы численного интегрирования отличаются от (3.2)
Пусть вещественная функция f(x) определена и ограничена на отрезке [a, b].                                                   только явным указанием способа:
Разобьем [a, b] на n частичных отрезков [xi, xi+1], 0 ≤ i ≤ n-1, xn=b, x0=a.                                                    1) выбора xi, ξi;
   На каждом из этих отрезков выберем произвольную точку ξi ( x i ≤ ξ i ≤ x i +1 )                                              2) ускорения сходимости в (3.3);
                                                                                                                                3) оценки погрешности, использующей дополнительную информацию о
и составим интегральную сумму:                                                                                                      поведении f(x).
                                                                        n
                                                                                                                                Обобщим понятие интегральной суммы (3.2). Точки ξi назовем узлами, а
                               S = s 1 + s2 + + sn =                   ∑
                                                                       i =1
                                                                                 f(ξi)⋅(xi+1 – xi)        .          (3.2)   коэффициенты (xi+1 – xi) заменим некоторыми числами qi, не зависящими от f(x),
                                                                                                                             называемыми весами. Тогда формула (3.2) заменится следующей:
   Если существует предел S при стремлении длины наибольшего частичного                                                                                                         n −1
отрезка к нулю и произвольных ξi , то этот предел называется интегралом                                                                                                 S = ∑ q i f (ξ i ) .
Римана от f(x)                                                                                                                                                                  i =0

                             I =    lim    S .                     (3.3)                                                        Запишем интеграл (3.1) в виде
                                                   max x i + 1 − x i → 0                                                                                                 n−1
                                                                                                                                                                I = ∑ qi f (ξ i ) + R.                             (3.4)
                                                                                                                                                                         i =0
Теорема 3. О существовании определенного интеграла. Если функция f(x)
непрерывна на [a, b], то предел интегральной суммы существует и не зависит                                                   Формула (3.4) называется квадратурной, R – погрешность квадратурной формулы.
ни от способа разбиения отрезка [a, b] на элементарные отрезки, ни от выбора                                                    В случаях, когда подынтегральная функция f(x) не допускает
точек ξi.                                                                                                                    непосредственного интегрирования, т. е. первообразную нельзя выразить в
             y                                                                                                               элементарных функциях или при табличном способе задания функции
                          M1
                                    M2                                                                                       используют методы численного интегрирования. Сущность большинства этих
                                                                                                                             методов состоит в замене подынтегральной функции f(x) аппроксимирующей
                                                       Mi
                                                                                                                             функцией ϕ(x), для которой можно легко записать первообразную в
                                                                                                                             элементарных функциях, т.е.
                                                                              M n-1
                                                                                                                                                  b                 b

                                                                                              Mn                                                 ∫a
                                                                                                                                                      f ( x) dx = ∫ ϕ ( x)dx + R = S + R ,
                                                                                                                                                                    a
                          s1        s2                 si                     sn-1            sn          y = f(x)           где S – приближенное значение интеграла, R – погрешность вычисления
                                                                                                                             интеграла.
                                                       Δxi                                                                      Используемые на практике методы численного интегрирования можно
                          ξ1         ξ2                 ξi                                    ξn                             сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной
            0                                                                                                                функции.
                       а=x0    x1         x2   x i-1          xi        xn-2          x n-1        b=xn          x              Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной аппроксимации
                Рис. 18. Геометрическая интерпретация определенного интеграла.
                                                                                                                             подынтегральной функции. Методы этого класса отличаются друг от друга
                                                                                                                             степенью используемого полинома, от которой зависит количество узлов, где
                                                                                                                             необходимо вычислить функцию f(x).
                                                             33                                                                                                 34