Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

29
Блок-схема метода хорд представлена на рис.16. Алгоритмы метода
половинного деления и метода хорд похожи, однако второй из них в ряде
случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса. При этом
успех его применения, как и в методе половинного деления, гарантирован.
Задание.
Разработайте алгоритм, в котором бы проверялось условие выхода
из цикла (2.20).
2.6 Комбинированный метод секущих и хорд
Этот метод обладает гарантированной сходимостью. Вводятся два
приближения
х
0
и х
1
. Если х
0
и х
1
лежат по разные стороны от корня, то
проводится хорда, в противном случае проводится секущая.
Случай, когда проводится хорда, рассмотрен на рис.14.
Так как ΔАBC подобен ΔBDЕ, то длины соответственных сторон
пропорциональны:
B
E
AB
ED
AC
=
,
то есть
xx
xx
xf
xf
−
−
=
−
1
0
1
0
)(
)(
.
Отсюда получаем
-f(x
0
)x
1
+ f(x
0
)x = f(x
1
)x + f(x
1
)x
0
.
Выделим из этого уравнения
х:
)()(
)()(
01
1001
xfxf
xxfxxf
x
−
−
=
.
Чтобы упростить выражение, добавим к числителю
f(x
0
)x
0
и его же отнимем:
x
0
x
1
f(x
0
)
f(x
1
)
0
f
(x)
x
A B
C
D
E
Рис.14.
30
)()(
))(())()((
)()(
)()()()(
01
010010
01
00001001
xfxf
xxxfxfxfx
xfxf
xxfxxfxxfxxf
x
−
−
−
−
=
−
+
−
−
=
,
тогда точка пересечения хорды с осью
ОХ находится по формуле:
)()(
)()(
01
010
0
xfxf
xxxf
xx
−
−
⋅
−=
. (2.21)
Случай, когда проводится секущая, изображен на рис.15.
Из подобия треугольников
АBC и АDЕ, вытекает пропорциональность
соответственных сторон
AE
AC
DE
BC
=
, значит
xx
xx
xf
xf
−
−
=
1
0
1
0
)(
)(
.
Нетрудно вывести, что конечная формула для определения точки
х и в этом
случае совпадает с формулой (2.21).
После определения
х проверяется условие выхода из цикла:
ε
≤−
1
xx . (2.22)
Если оно не выполняется, то в качестве точки
х
0
выбирается точка х
1
(х
0
:= х
1
),
а в качестве точки
х
1
берём точку х (х
1
:= х). Снова проводим секущую или хорду,
рассчитываем следующее приближение
х по формуле (2.21) и т.д.
Блок-схема комбинированного метода секущих и хорд представлена на
рис.17.
x
0
x
1
y
f(x
0
)
f(x
1
)
0
y = f(x)
x
A
B
C
D
E
Рис.15 
   Блок-схема метода хорд представлена на рис.16. Алгоритмы метода
половинного деления и метода хорд похожи, однако второй из них в ряде
                                                                                        f (x1 )x0 − f (x0 )x1 − f (x0 )x0 + f (x0 ) x0 x0 ( f ( x1 ) − f (x0 )) − f ( x0 )(x1 − x0 ) ,
случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса. При этом                 x=                                               =
успех его применения, как и в методе половинного деления, гарантирован.                                f (x1 ) − f ( x0 )                             f (x1 ) − f ( x0 )
   Задание. Разработайте алгоритм, в котором бы проверялось условие выхода   тогда точка пересечения хорды с осью ОХ находится по формуле:
из цикла (2.20).                                                                                                           f ( x 0 ) ⋅ ( x1 − x 0 ) .                                  (2.21)
                                                                                                                x = x0 −
                                                                                                                             f ( x1 ) − f ( x 0 )
           2.6 Комбинированный метод секущих и хорд                             Случай, когда проводится секущая, изображен на рис.15.

   Этот метод обладает гарантированной сходимостью. Вводятся два                                          y
приближения х0 и х1. Если х0 и х1 лежат по разные стороны от корня, то                                                           y = f(x)                D
проводится хорда, в противном случае проводится секущая.                                                f(x1)
   Случай, когда проводится хорда, рассмотрен на рис.14.
                                                                                                        f(x0)                               B
             f(x)
            f(x )                                D
               1
                                                                                                           0                     x              x0        x1
                                                                                                                          A                 C            E
                    A              B                   x1
               0
                     x0             x                     E                                                                      Рис.15
                                                                             Из подобия треугольников АBC                       и         АDЕ,       вытекает пропорциональность
            f(x0)                                                                                   BC AC
                                                                             соответственных сторон   =   , значит
                    C                                                                               DE AE
                            Рис.14.                                                                                        f ( x0 ) x0 − x .
                                                                                                                                   =
                                                                                                                           f ( x1 ) x1 − x
    Так как ΔАBC подобен ΔBDЕ, то длины соответственных сторон
пропорциональны:                                                                Нетрудно вывести, что конечная формула для определения точки х и в этом
                                 AC AB ,                                     случае совпадает с формулой (2.21).
                                       =
                                 ED BE                                          После определения х проверяется условие выхода из цикла:
то есть                                                                                                   x − x1 ≤ ε .                            (2.22)
                            − f ( x0 ) x − x0 .                                  Если оно не выполняется, то в качестве точки х0 выбирается точка х1 (х0 := х1),
                                        =
                              f ( x1 )    x1 − x                             а в качестве точки х1 берём точку х (х1 := х). Снова проводим секущую или хорду,
Отсюда получаем                                                              рассчитываем следующее приближение х по формуле (2.21) и т.д.
                   -f(x0)x1 + f(x0)x = f(x1)x + f(x1)x0 .                        Блок-схема комбинированного метода секущих и хорд представлена на
                                                                             рис.17.
Выделим из этого уравнения х:
                                 f ( x1 ) x0 − f ( x0 ) x1 .
                            x=
                                     f ( x1 ) − f ( x0 )

Чтобы упростить выражение, добавим к числителю f(x0)x0 и его же отнимем:

                                         29                                                                                          30

Страницы