ВУЗ:
Составители:
27
пересечения хорды с осью абсцисс. Последовательность
с
0
, с
1
, ... будет сходиться
к корню, если первая производная
f
′
(х) и вторая производная f
′′
(х) сохраняют
постоянный знак на отрезке [a,b] [7].
Уравнение хорды
АВ:
ab
bx
afbf
bfy
−
−
=
−
−
)()(
)(
.
Для точки пересечения хорды с осью абсцисс (x = c
0
, y = 0) получим
уравнение:
)()(
)()(
0
afbf
bfab
bc
−
⋅−
−=
. (2.17)
Далее проверяется условие выхода из итерационного цикла (разность между
двумя соседними приближениями должна быть не больше заданной точности
ε):
ε
≤− bc
0
. (2.18)
Если условие (2.18) не выполняется, то точку
b переносим в точку с
0
(b=c
0
),
снова проводим хорду и по формуле (2.17) определяем следующее приближение
к корню.
Если функция имеет вид (рис.12), то для такой функции
f''(x)<0 для любого x
из отрезка [
a, b]. В этом случае фиксируется точка b и формула для расчёта точек
c
i
(i=0,1,...) примет вид:
)()(
)()(
0
afbf
afab
ac
−
⋅−
−=
. (2.19)
Условие выхода из цикла:
ε
≤− ac
0
. (2.20)
Если условие (2.20) не выполняется, то переопределяем точку
а=с
0
, затем
ищем новую точку
c
0
по формуле (2.19) и т.д.
a
b
f
(x)
0
Рис.12. Геометрическая интерпретация метода хорд
c
0
c
1
А
f
(a)
f
′
′<0
B
28
Начало
ввод максимального
числа итераций
m
и точности
ε
ввод начального
числа приближений
к корням
х
0
,
у
0
n: = 1
),(*),(),(*),(:
det
00
1
00
2
00
2
00
1
y
x
y
f
y
x
x
f
y
x
y
f
y
x
x
f
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
р
асчет приращений
к корням
det
/
))
,(*),(),(*),((:
det
/
))
,(*),(),(*),((:
00
1
00200
2
001
00
2
00100
1
002
y
x
x
f
y
x
f
y
x
x
f
y
x
f
y
y
x
y
f
y
x
f
y
x
y
f
y
x
f
x
∂
∂
−
∂
∂
=Δ
∂
∂
−
∂
∂
=
Δ
n:
= n + 1
уточнен ие
корней
x
0
: = x
0
+
Δ
x
y
0
: = y
0
+
Δ
y
(⏐Δ
x
⏐≤
ε
)
and
(
⏐
Δ
y
⏐
≤
ε
)
нет
да
n ≤
m
печать корней
x
0
,
y
0
, n ,
f
1
(
x
0
,
y
0
),
f
2
(
x
0
,
y
0
)
д
а
нет
печать ‘метод не
сошелся за
m
итераций’
exit
Конец
Рис.13. Блок-схема метода Ньютона системы из двух уравнений
пересечения хорды с осью абсцисс. Последовательность с0, с1, ... будет сходиться Начало
к корню, если первая производная f′(х) и вторая производная f′′(х) сохраняют
постоянный знак на отрезке [a,b] [7]. ввод максимального
числа итераций m
и точности ε
f(x)
А f ′′<0 ввод начального
f(a) числа приближений
к корням х0, у0
n: = 1
∂f 1 ∂f ∂f ∂f
c1 b det := ( x , y ) * 2 ( x , y ) − 2 ( x 0 , y 0 ) * 1 ( x0 , y 0 )
0 ∂x 0 0 ∂y 0 0 ∂x ∂y
a c0 расчет приращений
к корням
B ∂f 1 ∂f
Δx := ( f 2 ( x 0 , y 0 ) * ( x , y ) − f 1 ( x 0 , y 0 ) * 2 ( x 0 , y 0 )) / det
∂y 0 0 ∂y
Рис.12. Геометрическая интерпретация метода хорд ∂f 2 ∂f 1
Δy := ( f 1 ( x 0 , y 0 ) * ( x , y ) − f 2 ( x0 , y 0 ) * ( x , y )) / det
Уравнение хорды АВ: ∂x 0 0 ∂x 0 0
n: = n + 1
y − f (b ) x−b .
= уточнение
f (b ) − f ( a ) b − a корней
x 0 : = x0 + Δ x
y0: = y0 + Δy
Для точки пересечения хорды с осью абсцисс (x = c0, y = 0) получим
уравнение:
(b − a) ⋅ f (b) . (2.17)
c0 = b − (⏐Δx⏐≤ ε) да
f (b) − f (a) and
Далее проверяется условие выхода из итерационного цикла (разность между (⏐Δy⏐≤ ε)
печать корней
двумя соседними приближениями должна быть не больше заданной точности ε): x 0 , y0 , n ,
c0 − b ≤ ε . (2.18) нет f1(x0, y0), f2(x0, y0)
да
Если условие (2.18) не выполняется, то точку b переносим в точку с0 (b=c0), n≤m
снова проводим хорду и по формуле (2.17) определяем следующее приближение
нет
к корню.
печать метод не
Если функция имеет вид (рис.12), то для такой функции f''(x)<0 для любого x сошелся за m
из отрезка [a, b]. В этом случае фиксируется точка b и формула для расчёта точек итераций
ci (i=0,1,...) примет вид:
(b − a) ⋅ f (a) . (2.19)
exit Конец
c0 = a −
f (b) − f (a)
Условие выхода из цикла: Рис.13. Блок-схема метода Ньютона системы из двух уравнений
c0 − a ≤ ε . (2.20)
Если условие (2.20) не выполняется, то переопределяем точку а=с0, затем
ищем новую точку c0 по формуле (2.19) и т.д.
27 28
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
