ВУЗ:
Составители:
25
Поскольку в соответствии с системой нелинейных уравнений левые части
этих выражений должны обращаться в нуль, то приравняем нулю и правые
части. Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений
относительно приращений:
nn
n
nnn
n
n
n
n
fx
x
f
x
x
f
x
x
f
fx
x
f
x
x
f
x
x
f
fx
x
f
x
x
f
x
x
f
−=Δ
∂
∂
++Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂
−=Δ
∂
∂
++Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂
−=Δ
∂
∂
++Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂
...
..........................................................
...
...
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
(2.14)
Значения
f
1,
f
2
,…, f
n
и их производные вычисляются при x
1
=a
1
, x
2
=a
2
,…, x
n
=a
n
.
Определителем системы является якобиан
Для существования единственного решения системы он должен быть
отличным от нуля на каждой итерации.
Таким образом, итерационный процесс решения системы уравнений методом
Ньютона состоит в определении приращений
Δx
1
, Δx
2
, …,Δx
n
к значениям
неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения
становятся малыми по абсолютной величине:
ni≤≤1
max
⏐Δx
i
⏐< ε.
В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для
обеспечения хорошей сходимости. Метод имеет квадратичную сходимость, т.е.
погрешность на следующей итерации пропорциональна квадрату погрешности
на предыдущей итерации [8].
Очень часто не удаётся найти решения системы нелинейных уравнений даже
в случае двух переменных. Успешный поиск зависит, прежде всего, от выбора
начальных приближений к корн
ям. Их следует выбирать вблизи корней. Пусть
дана следующая система уравнений:
⎩
⎨
⎧
=+
=−−
15,18,0
4,02,1)2sin(
22
yx
xyx
Найдём корни графическим методом (рис.11).
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
n
nn
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
J
...
....
...
...
1
2
1
2
1
1
1
26
Из графика видно, что система имеет два решения. Уточним одно из них,
принадлежащее области D: 0,3<
x<0,5; -0,8<y<-0,5. За начальное приближение
принимаем
х
0
=0,3; у
0
=-0,8. Каждую пару корней следует уточнять отдельно,
используя какой-либо численный метод.
На рис. 13 представлена блок-схема метода Ньютона для системы из двух
нелинейных уравнений:
f
1
(x, y) = 0
f
2
(x, y) = 0
Значение приращений Δх, Δy определялось методом Крамера. В программе
следует записать формулы для расчета производных и функций в виде
подпрограммы
FUNCTION.
2.5. Метод хорд
Пусть мы нашли отрезок [a, b], на концах которого функция f(x) имеет разные
знаки. Для определенности примем
f(a) > 0, f(b) < 0. Для данной функции
f
′′(х)<0 для любого х (рис.12). В методе хорд одна из точек фиксируется, а
положение другой постоянно переносится в точку c
i
пересечения хорды с осью х.
Фиксируется та точка, для которой знак функции совпадает со знаком второй
производной. Если выполняется условие
f(a)
⋅
f
′′
(a)>0 , (2.15)
то фиксируется точка а , если выполняется условие
f(b)
⋅
f
′′
( b)>0 , (2.16)
то фиксируется точка
b.
В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве
приближений к корню уравнения принимаются значения
с
0
, с
1
, ... точек
-1
1
1
-1
y
x
Рис.11. Отделение корней графическим
методом.
Поскольку в соответствии с системой нелинейных уравнений левые части
этих выражений должны обращаться в нуль, то приравняем нулю и правые
части. Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений y
относительно приращений: 1
∂f 1 ∂f ∂f
Δx1 + 1 Δx 2 + ... + 1 Δx n = − f1
∂x1 ∂x 2 ∂x n
∂f 2 ∂f ∂f (2.14) -1 1 x
Δx1 + 2 Δx 2 + ... + 2 Δx n = − f 2
∂x1 ∂x 2 ∂x n
.......................................................... -1
∂f n ∂f ∂f
Δx1 + n Δx 2 + ... + n Δx n = − f n
∂x1 ∂x 2 ∂x n Рис.11. Отделение корней графическим
методом.
Значения f1, f2, , fn и их производные вычисляются при x1=a1, x2=a2, , xn=an.
Определителем системы является якобиан
Из графика видно, что система имеет два решения. Уточним одно из них,
⎡ ∂ f1 ∂ f1 ⎤ принадлежащее области D: 0,3 0, f(b) < 0. Для данной функции
обеспечения хорошей сходимости. Метод имеет квадратичную сходимость, т.е. f ′′(х)<0 для любого х (рис.12). В методе хорд одна из точек фиксируется, а
погрешность на следующей итерации пропорциональна квадрату погрешности положение другой постоянно переносится в точку ci пересечения хорды с осью х.
на предыдущей итерации [8]. Фиксируется та точка, для которой знак функции совпадает со знаком второй
Очень часто не удаётся найти решения системы нелинейных уравнений даже производной. Если выполняется условие
в случае двух переменных. Успешный поиск зависит, прежде всего, от выбора f(a)⋅f′′(a)>0 , (2.15)
начальных приближений к корням. Их следует выбирать вблизи корней. Пусть то фиксируется точка а , если выполняется условие
дана следующая система уравнений:
f(b)⋅f′′( b)>0 , (2.16)
⎧sin( 2 x − y ) − 1,2 x = 0,4 то фиксируется точка b.
⎨
⎩0,8 x + 1,5 y = 1 В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве
2 2
Найдём корни графическим методом (рис.11). приближений к корню уравнения принимаются значения с0, с1, ... точек
25 26
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
