Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

21
2.4. Метод Ньютона (метод касательных)
2.4.1. Решение нелинейных уравнений
Пусть известно, что корень уравнения f(x)=0 принадлежит отрезку [a, b].
Выбирается начальное приближение с
0
к корню и через точку М
0
с
координатами (
с
0
, f(c
0
)) проводится касательная к кривой y=f(x). Точка
пересечения
с
1
касательной с осью х принимается за следующее приближение к
корню. Проводя касательную через точку
М
1
найдём следующее приближение с
2
и т.д.
Начальное приближение
с
0
выбирается из условия, чтобы знак функции
совпадал со знаком кривизны, определяемой второй производной, т.е.
f(c
0
)⋅f ′′(c
0
)>0 (2.8)
Условие (2.8) вытекает из теоремы 2.
Теорема 2. Если f(a)*f(b) < 0, причем f '(x) и f ''(x) отличны от нуля и
сохраняют определенный знак при а
≤
х
≤
b, то исходя из начального
приближения с
0
∈
[a, b] удовлетворяющего неравенству (2.8), можно вычислить
методом Ньютона
)(
)(
1
1
1
−
−
−
′
−=
n
n
nn
сf
сf
сс
(n=1,2…)
единственный корень уравнения f(x)=0 с любой степенью точности
ε
.
Если условие (2.8) выполняется для точки а, то с
0
=а; если условие (2.8)
выполняется для точки
b, то с
0
=b.
Уравнение касательной, проведённой к кривой
y=f(x) через точку М
0
имеет
следующий вид:
y-f(c
0
)=f′(c
0
)(x-c
0
).
В точке
х=с
1
y(c
1
)=0, тогда формула для определения следующего
приближения к корню
с
1
через предыдущее с
0
примет следующий вид:
)(
)(
0
0
01
сf
сf
сс
′
−=
(2.9)
Для окончания итерационного процесса может быть использовано условие:
⎟f(c
1
)⎜<ε (2.10)
или условие близости двух соседних приближений:
⎟c
1
- с
0
⎜<ε (2.11)
c
2
c
0
y
0
y=f(x)
Рис. 8. Геометрическая интерпретация метода
c
1
M
1
M
1
M
0
M
2
x
22
Начало
ввод
k, m, n
i : = 1, n
ввод
x[i]
расчет первых приближений
по формулам (2.2)
x[i] =
ϕ
i
(x
0
1
,…, x
0
n
)
⏐
x
0
i
- x
1
i
⏐≤
ε
k: = k + 1
нет
k
≤
m
да
да
i: = 1, n
x
0
i
:
= x
1
i
печать
корней
нет
‘процесс
расходится’
Конец
Р
ис. 9. Блок-схема метода простой итерации для
системы нелинейных уравнений. 
                2.4. Метод Ньютона (метод касательных)
                                                                                                    Начало
                     2.4.1. Решение нелинейных уравнений
    Пусть известно, что корень уравнения f(x)=0 принадлежит отрезку [a, b].
    Выбирается начальное приближение с0 к корню и через точку М0 с                                    ввод
координатами (с0, f(c0)) проводится касательная к кривой y=f(x). Точка                               k, m, n
пересечения с1 касательной с осью х принимается за следующее приближение к
корню. Проводя касательную через точку М1 найдём следующее приближение с2                           i : = 1, n
и т.д.
    Начальное приближение с0 выбирается из условия, чтобы знак функции
совпадал со знаком кривизны, определяемой второй производной, т.е.                                    ввод
                               f(c0)⋅f ′′(c0)>0                             (2.8)                      x[i]
    Условие (2.8) вытекает из теоремы 2.
    Теорема 2. Если f(a)*f(b) < 0, причем f '(x) и f ''(x) отличны от нуля и
сохраняют определенный знак при а≤ х≤ b, то исходя из начального                           расчет первых приближений
приближения с0∈ [a, b] удовлетворяющего неравенству (2.8), можно вычислить                      по формулам (2.2)
методом Ньютона с = с − f (с n −1 )           (n=1,2 )                                         x[i] = ϕi(x01, , x0n)
                                 n −1
                                        f ′(с n −1 )
                            n


единственный корень уравнения f(x)=0 с любой степенью точности ε.
   Если условие (2.8) выполняется для точки а, то с0=а; если условие (2.8)                                                  да       печать
                                                                                                   ⏐ x0i- x1i⏐≤ ε
выполняется для точки b, то с0=b.                                                                                                    корней
   Уравнение касательной, проведённой к кривой y=f(x) через точку М0 имеет
                                                                                                               нет
следующий вид:
                                 y-f(c0)=f′(c0)(x-c0).                                              k: = k + 1
   В точке х=с1 y(c1)=0, тогда формула для определения следующего
приближения к корню с1 через предыдущее с0 примет следующий вид:
                                        f (с0 )                                                                      нет          ‘процесс
                              с =с −                                  (2.9)                           k≤m
                                        1     0
                                                       f ′(с0 )                                                                  расходится’
   Для окончания итерационного процесса может быть использовано условие:                                   да
                                    ⎟f(c1)⎜<ε                        (2.10)                          i: = 1, n
или условие близости двух соседних приближений:
          y                     ⎟c1 - с0⎜<ε                          (2.11)                          x0i: = x1i
                                              M0
                                                                       y=f(x)

                  c1
            0          c2                                                                             Конец
                                                                  c0            x
                            M2                                                      Рис. 9. Блок-схема метода простой итерации для
                        M1                                                                  системы нелинейных уравнений.

                Рис. 8. Геометрическая интерпретация метода

                                                       21                                                              22

Страницы