ВУЗ:
Составители:
23
На каждой итерации объём вычислений в методе Ньютона больший, чем в
других методах, поскольку приходится находить не только значение функции
f(x), но и значение её производной. Однако скорость сходимости метода Ньютона
значительно выше, чем в других методах.
Трудность в применении метода Ньютона состоит в выборе начального
приближения
с
0
. Поэтому, иногда целесообразно использовать смешанный
алгоритм. Он состоит в том, что сначала применяется всегда сходящийся метод
(например, метод половинного деления), а после некоторого числа итераций
−
быстро сходящийся метод Ньютона.
Блок-схема метода Ньютона для нелинейных уравнений представлена на
рис. 10.
Задание.
Модифицируйте блок-схему на рис.10 так, чтобы было
использовано условие 2.11.
2.4.2. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона
Метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой
итерации. В основе метода Ньютона для системы уравнений (2.6) лежит
использование разложения функций
f
i
(x
1
, x
2
,…, x
n
) в ряд Тейлора, причём члены,
содержащие вторые (и более высоких порядков) производные, отбрасываются.
Пусть приближённые значения корней системы уравнений (2.6) (например,
полученные на предыдущей итерации) равны соответственно
а
1,
а
2
, …, а
n
. Задача
состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям
Δx
1
, Δx
2
, …,
Δx
n
, благодаря которым решение системы (2.7) запишется в виде:
x
1
= a
1
+Δ x
1
,
x
2
= a
2
+ Δx
2
,
.....................
(2.12)
x
n
= a
n
+ Δx
n
.
Проведем разложение левых частей уравнений первой системы в ряд
Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений:
n
n
nn
ninnin
n
n
nini
n
n
nini
x
x
f
x
x
f
aafxxf
x
x
f
x
x
f
aafxxf
x
x
f
x
x
f
aafxxf
Δ
∂
∂
++Δ
∂
∂
+=
Δ
∂
∂
++Δ
∂
∂
+=
Δ
∂
∂
++Δ
∂
∂
+=
...),...,(),...,(
.................................................................................
...),...,(),...,(
...),...,(),...,(
1
1
2
1
1
2
22
1
1
1
1
11
(2.13)
24
Рис. 10. Блок-схема метода Ньютона для нелинейных уравнений.
Начало
ввод
a
,
b
,
ε
n: = 1
с
0
:
= c
0
– (F(c
0
)/F
′
(c
0
))
n: = n + 1
⏐
f
(
c
0
)
⏐
<
ε
да
не
т
Конец
вывод n,
c
0
, F(c
0
)
f(a)*f
’’
(a) > 0
да
не
т
с
0
: = a;
n: = 0
f(b)*f
’’
(b) > 0
да
c
0
: = b;
n: = 0
n: = 0
да
не
т
не
т
выбор начального
приближения
На каждой итерации объём вычислений в методе Ньютона больший, чем в
других методах, поскольку приходится находить не только значение функции Начало
f(x), но и значение её производной. Однако скорость сходимости метода Ньютона
значительно выше, чем в других методах.
n: = 1
Трудность в применении метода Ньютона состоит в выборе начального выбор начального
приближения с0. Поэтому, иногда целесообразно использовать смешанный
приближения
алгоритм. Он состоит в том, что сначала применяется всегда сходящийся метод
ввод
(например, метод половинного деления), а после некоторого числа итераций −
быстро сходящийся метод Ньютона. a, b, ε
Блок-схема метода Ньютона для нелинейных уравнений представлена на
рис. 10. да с0: = a;
f(a)*f(a) > 0
Задание. Модифицируйте блок-схему на рис.10 так, чтобы было n: = 0
использовано условие 2.11. нет
нет
2.4.2. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона f(b)*f(b) > 0
Метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой да
итерации. В основе метода Ньютона для системы уравнений (2.6) лежит c0: = b;
использование разложения функций fi (x1, x2, , xn) в ряд Тейлора, причём члены, n: = 0
содержащие вторые (и более высоких порядков) производные, отбрасываются.
Пусть приближённые значения корней системы уравнений (2.6) (например,
полученные на предыдущей итерации) равны соответственно а1, а2, , аn. Задача нет
n: = 0
состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям Δx1, Δx2, ,
Δxn, благодаря которым решение системы (2.7) запишется в виде: да
x1 = a1 +Δ x1,
с0: = c0 (F(c0)/F′(c0))
x2 = a2 + Δx2, n: = n + 1
..................... (2.12)
xn = an + Δxn.
нет
Проведем разложение левых частей уравнений первой системы в ряд ⏐f(c0)⏐< ε
Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений: да
∂f1 ∂f вывод n,
f1 ( xi ,..., x n ) = f1 (ai ,..., a n ) + Δx1 + ... + 1 Δx n
∂x1 ∂x n c0, F(c0)
∂f 2 ∂f
f 2 ( xi ,..., x n ) = f 2 (ai ,..., a n ) + Δx1 + ... + 2 Δx n (2.13)
∂x1 ∂x n
................................................................................. Конец
∂f ∂f
f n ( xi ,..., x n ) = f n (ai ,..., a n ) + n Δx1 + ... + n Δx n Рис. 10. Блок-схема метода Ньютона для нелинейных уравнений.
∂x1 ∂x n
23 24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
