Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 24 стр.

                                                   1                       1                                            Если имеется функция двух независимых переменных и необходимо
следовательно                          σ       =   ∫   f 2 ( x ) dx − ( ∫ f ( x ) dx ) 2 < ∞ .             (3.20)
                                           2
                                                                                                                    вычислить двойной интеграл по Y области в плоскости ху, то выбирают точки со
                                                   0                       0                                        случайными координатами внутри области интегрирования, вычисляются
Величину σ оценивают либо по формуле (3.16), либо исходя из формулы (3.20),                                         значения функции в этих точках, определяют среднее значение, которое
                  1                                              1
                                                                                                                    умножают на площадь области интегрирования.
оценивая                               сверху, а                                      снизу. Погрешность
                 ∫0
                      f 2 ( x ) dx                            ( ∫ f ( x ) dx ) 2
                                                                 0
                                                                                                           I −ξn
                                                                                                                        Если следует вычислить
                                                                                                                    xb y b z b                                                                                 n
                                                                                                                                                                                                          1
оценивается по формуле (3.15) с вероятностью 0.997.
   Случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1] в                                                ∫∫∫          f ( x , y , z ) dxdydz = ( x b − x a )( y b − y a )( z b − z a )
                                                                                                                                                                                                          n
                                                                                                                                                                                                              ∑
                                                                                                                                                                                                              i =1
                                                                                                                                                                                                                     f ( xi , y i , z i ),
                                                                                                                    xa y a z a
персональных компьютерах задаются с помощью физических датчиков или
программ. При применении эти числа называются псевдослучайными, так как
практически они обладают статическими характеристиками, но, строго говоря,                                          то выбирают точки со случайными координатами внутри прямоугольного
не являются случайными.                                                                                             параллелепипеда.
   Если нужно вычислить интеграл с точностью ε, то есть, чтобы выполнялось
           b
                                                                                                                                           Преимущества применения метода Монте-Карло
условие        f ( x)dx − ξ ≤ ε , то из формулы (3.15) следует, что
           ∫
           a                                                                                                                1.     В многомерном случае при применении метода Монте-Карло число
                                                                 σ                                                                 вычисляемых значений подынтегральной функции растет значительно
                                                             3           =ε .                                                      медленнее относительно 1/ ε (ε - точность вычисления интеграла), чем
                                                                     n
                                                                                                                                   в квадратичных формулах.
   Таким образом, число независимых испытаний равно n = ⎤ (9σ ) ⎡ , где за
                                                        ⎥ 2 ⎢
                                                             2
                                                                                                             ][             2.     Точность метода Монте-Карло не зависит от гладкости
                                                        ⎦ ε ⎣                                                                      подынтегральной функции.
обозначена целая часть числа.                                                                                               3.     Простая приспособляемость к форме области интегрирования:
   При вычислении кратных интегралов метод Монте-Карло часто дает                                                                                                                         R2    n

лучшие результаты, чем другие численные методы.                                                                                       ∫∫   f ( P ) dP =    ∫∫   f ∗ ( P ) dP =
                                                                                                                                                                                          n
                                                                                                                                                                                               ∑
                                                                                                                                                                                               i =1
                                                                                                                                                                                                      f (ξ i , x i ) ,
                               d                                                                                                       Ω                    R
   Рассмотрим            I =   ∫ f ( x ) dx = f ⋅ ( d − a ) ,
                               a
                                                                          то есть площадь криволинейной
                                                                                                                    где R- сторона квадрата, содержащего заданную область Ω (рис.31), а
трапеции, ограниченной графиком функции, отрезком оси х, прямыми х = a и                                                                                            f ( P ),    P∈Ω
x = d, равна площади прямоугольника abcd, ордината которого равна среднему                                                                            f*(P) =                         .
                                                                                                                                                                       0,      P∉Ω
значению функции f (x) на отрезке [а, d] , а другая – длине отрезка (рис.30).
                                   n
Функция f ( x ) = 1                    f (η i ) , где ηi - значения случайной величины η.
                           n
                               ∑
                               i =1                                                                                                                             R
                               y
                                                                                                                                                                               Ω
                                               b                               c
                            f(x)
                                                                                   f(x)

                                                                                                                                                                       Рис. 31.
                                                                                                                       Блок-схема программы для вычисления интеграла методом Монте-Карло
                                               а                            d             x                         представлена на рис.32-33.
                                                         Рис. 30                                                       Оценка погрешности приближенного значения интеграла имеет вид [1]:
                                                                 47                                                                                                            48