ВУЗ:
Составители:
65
3
X[N] := A[N, N+1]
i := N-1
i
≥
1
да
нет
S := 0
k := i+1, N
S := S+A[i, k]*X[k]
X[i] := A[i, N+1]-S
i := i-1
Печать
ко
р
ней
Проверка
правильности
получения корней
Конец
Обратный ход
Рис. 36. Блок-схема метода Гаусса с выбором
главного элемента в столбце.
66
4.3. Метод Гаусса-Зейделя
Одним из самых распространённых итерационных методов, отличающийся
простотой и лёгкостью программирования, является метод Гаусса-Зейделя.
Проиллюстрируем сначала этот метод на примере решения системы:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
. (4.12)
Предположим, что диагональные элементы а
11
, а
22
, а
33
отличны от нуля (в
противном случае можно переставить уравнения). Выразим неизвестные х
1
, х
2
, х
3
соответственно из первого, второго и третьего уравнений системы (4.12):
)(
1
3132121
11
1
xaxab
a
x −−⋅=
, (4.13)
)(
1
3232212
22
2
xaxab
a
x −−⋅=
, (4.14)
)(
1
3332313
33
3
xaxab
a
x −−⋅=
. (4.15)
Зададим некоторые начальные приближения значений неизвестных
0
3
0
2
0
1
,, xxx
.
Подставляя эти значения в правую часть уравнения (4.13), найдём новое
(первое) приближение для x
1
:
)(
1
0
313
0
2121
11
1
1
xaxab
a
x −−⋅=
.
Используя это значение для x
1
и приближение
0
3
x
для х
3
, находим из
уравнения (4.14) первое приближение для x
2
:
)(
1
0
323
1
1212
22
1
2
xaxab
a
x −−⋅=
.
И наконец, используя вычисленные значения
1
1
x ,
1
2
x , находим с помощью
выражения (4.15) первое приближение для x
3
:
)(
1
1
232
1
1313
33
1
3
xaxab
a
x −−⋅=
.
Первая итерация решения системы (4.12) на этом заканчивается.
Используя найденные значения
1
3
1
2
1
1
,, xxx
можно таким же способом
провести вторую итерацию, в результате которой будут найдены вторые
приближения к решению
2
3
2
2
2
1
,, xxx
. Приближение с номером k можно
представить в виде:
4.3. Метод Гаусса-Зейделя
Одним из самых распространённых итерационных методов, отличающийся
простотой и лёгкостью программирования, является метод Гаусса-Зейделя.
3 Проиллюстрируем сначала этот метод на примере решения системы:
Обратный ход ⎧ a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
⎪ . (4.12)
X[N] := A[N, N+1] ⎨a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
⎪a x + a x + a x = b
⎩ 31 1 32 2 33 3 3
Предположим, что диагональные элементы а11, а22, а33 отличны от нуля (в
i := N-1 противном случае можно переставить уравнения). Выразим неизвестные х1, х2, х3
соответственно из первого, второго и третьего уравнений системы (4.12):
нет 1
i ≥1 x = ⋅ (b − a x − a x ) ,
1 1 12 2 13 3
(4.13)
a 11
да 1
x2 = ⋅ (b2 − a 21 x 2 − a 23 x 3 ) , (4.14)
S := 0 a 22
1
x3 = ⋅ (b3 − a 31 x 2 − a 33 x 3 ) . (4.15)
k := i+1, N a 33
Зададим некоторые начальные приближения значений неизвестных
x 10 , x 20 , x 30 .
S := S+A[i, k]*X[k]
Подставляя эти значения в правую часть уравнения (4.13), найдём новое
(первое) приближение для x1:
1
X[i] := A[i, N+1]-S x11 = ⋅ ( b1 − a 12 x 20 − a 13 x 30 ) .
a 11
Используя это значение для x1 и приближение x 30 для х3, находим из
i := i-1 уравнения (4.14) первое приближение для x2:
1
x 12 = ⋅ ( b 2 − a 21 x 11 − a 23 x 30 ) .
a 22
Печать 1 1
И наконец, используя вычисленные значения x1 , x 2 , находим с помощью
корней
выражения (4.15) первое приближение для x3:
1
Проверка x 31 = ⋅ (b3 − a 31 x11 − a 32 x 12 ) .
правильности a 33
получения корней Первая итерация решения системы (4.12) на этом заканчивается.
Используя найденные значения x 11 , x 12 , x 31 можно таким же способом
провести вторую итерацию, в результате которой будут найдены вторые
Конец
приближения к решению x 12 , x 22 , x 32 . Приближение с номером k можно
Рис. 36. Блок-схема метода Гаусса с выбором представить в виде:
главного элемента в столбце.
65 66
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
