Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 34 стр.

                                       1
                               x1k =       ⋅ (b1 − a 12 x 2k −1 − a 13 x 3k −1 ) ,
                                      a 11
                                       1
                               x 2k =       ⋅ ( b 2 − a 21 x1k − a 23 x 3k −1 ) ,                                            Начало
                                      a 22
                                            1                                                                             Ввод ε, M, N,
                                  x 31 =        ⋅ (b3 − a 31 x1k − a 32 x 2k ) .
                                           a 33                                                                            матрицы А,
                                                                                                                            вектора В
   Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения x 1k , x 2k , x 3k
не станут близкими с заданной погрешностью ε к значениям x 1 , x 2 , x 3 .
                                                                                         k −1      k −1    k −1               i := 1, n

   Рассмотрим теперь систему, состоящую из n линейных уравнений с n
неизвестными. Представим её в следующем виде:                                                                                 X[i] = 0
               ai ,1 x1 + ai , 2 x 2 + K + ai ,i xi + ai ,i +1 xi +1 + K + ai ,n xn = bi ,
                                  i=1,2, ,n.
   Предположим также, что все диагональные элементы отличны от нуля. Тогда                                                    k := 0
в соответствии с методом Гаусса-Зейделя k-е приближение к решению можно                                             4
представить в виде:                                                                                                            δ := 0
                  1
             x =
              k
              i         ⋅ (bi − ai ,1 x1k − K − ai ,i −1 xik−1 − ai ,i +1 xik+−11 − K − ai ,n xnk −1 ) ,
                 a i ,i                                                                                                      k := k+1
                                   i=1,2, ,n.
   Причём при i=1 отсутствует часть α = a i ,1 x1k − K − a i ,i −1 x ik−1 .
                                                                                                                               S := 0
                                                                                                           k
   Итерационный процесс продолжается до тех пор пока все значения xi не
                           k −1                                                                                     2         i :=1, n            3
станут близкими к x i              с заданной точностью. Близость этих значений можно
характеризовать максимальной величиной их разности δ. Тогда при заданной
                                                                                                                              j :=1, n
допустимой погрешности ε > 0 критерий окончания итерационного процесса
можно представить в виде:                                                                                                                                             Печать
                                                                                                                                                                нет
                                                                                                                                                 a[i , i] > ε
                                           δ = max x ik − x ik −1 < ε              .                       (4.16)                                                     ‘a’,i, i,’=’,
                                                  1≤ i ≤ n                                                              S := S-a[ i, j]·x[j]                          нулю
   Это критерий по абсолютным отклонениям при x ik ≤ 1 . Можно заменить его                                                                            да

критерием по относительным разностям, т.е. условие окончания итерационного                                                                                                Exit
процесса можно записать в виде (при x ik >> 1 ):
                                                                                                                        xx:= (b[ i]+S)/a[i,i]
                                                             x ik − x ik − 1
                                       δ = max                               <ε .                          (4.17)
                                                1≤ i≤ n           x ki
                                                                                                                          d := abs(xx-x[i])


                                                                                                                                   1

                                                       67                                                                                       68