Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 37 стр.

   Если написать эту систему уравнений, отбросив символы «х», «у», «z» и «=»,                            ⎛1 0 −1/ 5 2/ 5 ⎞ [1] +1/ 5⋅[3]
то получится так называемая расширенная матрица системы:                                                 ⎜               ⎟
                                                                                                         ⎜0 1 3/ 5 19/ 5⎟ [2] − 3/ 5⋅[3]
                               ⎛ 4 + 3 + 1 13 ⎞                                                          ⎜0 0 1
                               ⎜               ⎟                                                         ⎝           3 ⎟⎠
                               ⎜ 2 − 1 − 1 − 3⎟
                               ⎜7 +1 − 3 0 ⎟                                        Прибавляя умноженную на соответствующие коэффициенты третью строку к
                               ⎝               ⎠                                 первой и второй, можно исключить недиагональные элементы третьего столбца,
   Решение системы линейных уравнений не изменится, если умножить правую         что соответствует исключению переменной строке х3 из 1 и 2 уравнения:
и левую части каждого уравнения на любое число кроме нуля.
                                                                                                                 ⎛1 0 0 1⎞
   Чтобы первый коэффициент первого уравнения стал равен единице, разделим                                       ⎜        ⎟
первое уравнение на 4:                                                                                           ⎜0 1 0 2⎟
                     ⎛ 1 + 3 / 4 + 1/ 4 13/ 4⎞                                                                   ⎜ 0 0 1 3⎟
                                                                                                                 ⎝        ⎠
                     ⎜                       ⎟   [2] − 2 ⋅ [1]
                     ⎜ 2 −1       −1     −3 ⎟                                       Если теперь дописать «забытые» символы, то получится следующая система
                     ⎜7 +1                       [3] − 7 ⋅ [1]                   уравнений:
                     ⎝            −3     0 ⎟⎠                                                                   1x + 0 y + 0 z = 1
   Поскольку уравнения системы можно умножать на любые числа, а также                                           0 x − 1y − 0 z = 2
складывать и вычитать, коэффициенты, стоящие в первом столбце, кроме
первого можно обратить в нуль. Для этого умножим строку [1] на 2 и                                                0 x + 0 y − 1z = 3
произведение вычтем из второй строки. Первую строку умножим на 7 и                  Из этой системы уравнений непосредственно получается искомое решение:
произведение вычтем из третьей строки:                                                                    х = 1;             у = 2;     z = 3.
                        ⎛ 1 + 3 / 4 + 1/ 4 13/ 4 ⎞                                  Преимущество метода состоит в том, что исключается обратный ход в методе
                        ⎜                             ⎟                          Гаусса. Его недостатком является увеличение объёма вычислений.
                        ⎜ 0 − 5 / 2 − 3 / 2 − 19 / 2 ⎟ /(−5 / 2)                    Можно показать, что наибольшая точность достигается тогда, когда ведущий
                        ⎜ 0 − 17 / 4 − 19 / 4 − 91/ 4 ⎟                          элемент имеет наибольшее значение. Поэтому строку с нулевым или малым по
                        ⎝                             ⎠
   Теперь надо обратить в единицу диагональный элемент второй строки. Для        абсолютной величине ведущим элементом надо заменить на ту из стоящих под
этого разделим второе уравнение на этот диагональный элемент (-5/2) и получим:   ней строк, в которой в том же столбце стоит элемент, имеющий наибольшее по
                                                                                 модулю значение.
                    ⎛ 1 + 3 / 4 − 1/ 4 13 / 4 ⎞ [1] − 3 / 4 ⋅ [2]                   Блок-схема метода Гаусса-Жордана приведена на рис. 39.
                    ⎜                              ⎟
                    ⎜0     1        3/ 5    19 / 5 ⎟                                Задание. Преобразуйте алгоритм в метод Гаусса-Жордана с выбором главного
                    ⎜ 0 − 17 / 4 − 19 / 4 − 91/ 4 ⎟ [3] + 17 / 4 ⋅ [2]           элемента в ведущем столбце.
                    ⎝                              ⎠
   Теперь попытаемся исключить x2 из первого и третьего уравнения. Для этого
вычтем из первого уравнения умноженное на 3/4 второе уравнение, а третьму                 4.6. Вычисление определителя по методу Гаусса
уравнению прибавим второе, умноженное на 17/4:                                      Непосредственное нахождение определителя требует большого объёма
                         ⎛ 1 0 − 1/ 5    2/5 ⎞                                   вычислений. Вместе с тем легко вычисляется определитель треугольной
                         ⎜                      ⎟                                матрицы: он равен произведению её диагональных коэффициентов.
                         ⎜ 0  1   3 / 5 19 /5 ⎟
                         ⎜ 0 0 − 11/ 5 − 33 / 5 ⎟ /(−11/ 5)                         Пусть требуется вычислить определитель треугольной матрицы А1
                         ⎝                      ⎠                                размерностью n x n. Для приведения матрицы к треугольному виду можно
   Для того чтобы диагональный элемент третьей строки стал равен единице,        воспользоваться методом Гаусса или методом Гаусса с выбором главного
разделим третье уравнение на диагональный элемент третьей строки:                элемента.




                                     73                                                                              74