ВУЗ:
Составители:
3
Содержание
1. Аппроксимация функций .................................................................................. 4
1.1. Многочлен Лагранжа ................................................................................. 7
1.2. Многочлен Ньютона................................................................................... 9
1.3. Линейная и квадратичная интерполяция................................................ 13
1.4. Сплайны..................................................................................................... 21
1.5. Метод наименьших квадратов (среднеквадратичное приближение)... 26
1.6. Контрольные вопросы.............................................................................. 32
2. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений............... 33
2.1. Одношаговые методы............................................................................... 38
2.1.1. Метод Эйлера.................................................................................... 38
2.1.2. Модифицированный метод Эйлера................................................. 41
2.1.3. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности .................................... 44
2.2. Многошаговые методы ............................................................................ 47
2.2.1. Методы прогноза и коррекции ........................................................ 47
2.2.1.1. Метод Милна.............................................................................
49
2.2.1.2. Метод Адамса-Башфорта ......................................................... 49
2.2.1.3. Метод Хемминга ....................................................................... 50
2.2.2. Сравнение методов прогноза и коррекции с одношаговыми
методами...................................................................................................... 52
2.3. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений......... 53
2.4. Краевые задачи ......................................................................................... 55
2.4.1. Метод стрельбы................................................................................. 57
2.4.2. Метод конечных разностей.............................................................. 61
2.5. Контрольные вопросы............................................................................. 64
3. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 65
3.1. Построение разностных схем .................................................................. 67
3.2. Уравнения первого порядка..................................................................... 72
3.3. Уравнения второго порядка..................................................................... 80
3.
3.1. Волновое уравнение ......................................................................... 80
3.3.2. Уравнение теплопроводности.......................................................... 86
3.4. Контрольные вопросы.............................................................................. 93
4. Литература........................................................................................................ 94
4
1. Аппроксимация функций
Пусть величина у является функцией аргумента х. Это означает, что лю-
бому значению х из области определения поставлено в соответствие значение
у. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между у и х, т. е.
невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости у=f(х). В неко-
торых случаях даже пр
и известной зависимости у=f(x) она настолько гро-
моздка (например, содержит трудно вычисляемые выражения, сложные инте-
гралы и т. п.), что ее использование в практических расчетах затруднительно.
Наиболее распространенным и практически важным случаем, когда вид
связи между параметрами х и у неизвестен, является задание этой связи в ви-
де неко
торой таблицы
},{
ii
yx
. Это означает, что дискретному множеству зна-
чений аргумента
}{
i
x
поставлено в соответствие множество значений функ-
ции
}{
i
y
(
ni ,,1,0 K
=
). Эти значения - либо результаты расчетов, либо экс-
периментальные данные. На практике нам могут понадобиться значения ве-
личины у и в других точках, отличных от узлов x
i
. Однако получить эти зна-
чения можно лишь путем очень сложных расчетов или проведением дорого-
стоящих экспериментов.
Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств мы приходим
к необходимости использования имеющихся табличных данных для прибли-
женного вычисления искомого параметра у при любом значении (из некото-
рой области) определяющего параметра х, по
скольку точная связь y=f(x) не-
известна.
Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций:
данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать)
некоторой функцией
)(x
ϕ
так, чтобы отклонение
)(x
ϕ
от f(x) в заданной
области было наименьшим. Функция
)(x
ϕ
при этом называется аппроксими-
рующей. Для практики весьма важен случай аппроксимаций функции много-
членом
m
m
xaxaxaax ++++=ϕ K
2
210
)(
. (1.1)
В дальнейшем будем рассматривать лишь такого рода аппроксимацию.
При этом коэффициенты a
j
, будут подбираться так, чтобы достичь наимень-
шего отклонения многочлена от данной функции.
Содержание 1. Аппроксимация функций
1. Аппроксимация функций .................................................................................. 4
1.1. Многочлен Лагранжа ................................................................................. 7 Пусть величина у является функцией аргумента х. Это означает, что лю-
1.2. Многочлен Ньютона................................................................................... 9
1.3. Линейная и квадратичная интерполяция................................................ 13 бому значению х из области определения поставлено в соответствие значение
1.4. Сплайны..................................................................................................... 21 у. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между у и х, т. е.
1.5. Метод наименьших квадратов (среднеквадратичное приближение)... 26 невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости у=f(х). В неко-
1.6. Контрольные вопросы.............................................................................. 32 торых случаях даже при известной зависимости у=f(x) она настолько гро-
2. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений............... 33 моздка (например, содержит трудно вычисляемые выражения, сложные инте-
2.1. Одношаговые методы............................................................................... 38
2.1.1. Метод Эйлера .................................................................................... 38 гралы и т. п.), что ее использование в практических расчетах затруднительно.
2.1.2. Модифицированный метод Эйлера................................................. 41 Наиболее распространенным и практически важным случаем, когда вид
2.1.3. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности .................................... 44 связи между параметрами х и у неизвестен, является задание этой связи в ви-
2.2. Многошаговые методы ............................................................................ 47 де некоторой таблицы {xi , yi } . Это означает, что дискретному множеству зна-
2.2.1. Методы прогноза и коррекции ........................................................ 47
2.2.1.1. Метод Милна ............................................................................. 49 чений аргумента { x i } поставлено в соответствие множество значений функ-
2.2.1.2. Метод Адамса-Башфорта ......................................................... 49 ции { y i } ( i = 0, 1, K , n ). Эти значения - либо результаты расчетов, либо экс-
2.2.1.3. Метод Хемминга ....................................................................... 50
2.2.2. Сравнение методов прогноза и коррекции с одношаговыми периментальные данные. На практике нам могут понадобиться значения ве-
методами...................................................................................................... 52 личины у и в других точках, отличных от узлов xi. Однако получить эти зна-
2.3. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений ......... 53 чения можно лишь путем очень сложных расчетов или проведением дорого-
2.4. Краевые задачи ......................................................................................... 55 стоящих экспериментов.
2.4.1. Метод стрельбы................................................................................. 57
2.4.2. Метод конечных разностей.............................................................. 61 Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств мы приходим
2.5. Контрольные вопросы............................................................................. 64 к необходимости использования имеющихся табличных данных для прибли-
3. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 65 женного вычисления искомого параметра у при любом значении (из некото-
3.1. Построение разностных схем .................................................................. 67 рой области) определяющего параметра х, поскольку точная связь y=f(x) не-
3.2. Уравнения первого порядка..................................................................... 72 известна.
3.3. Уравнения второго порядка..................................................................... 80
3.3.1. Волновое уравнение ......................................................................... 80 Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций:
3.3.2. Уравнение теплопроводности.......................................................... 86 данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать)
3.4. Контрольные вопросы.............................................................................. 93 некоторой функцией ϕ (x ) так, чтобы отклонение ϕ (x ) от f(x) в заданной
4. Литература ........................................................................................................ 94
области было наименьшим. Функция ϕ (x ) при этом называется аппроксими-
рующей. Для практики весьма важен случай аппроксимаций функции много-
членом
ϕ ( x ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + K + a m x m . (1.1)
В дальнейшем будем рассматривать лишь такого рода аппроксимацию.
При этом коэффициенты aj, будут подбираться так, чтобы достичь наимень-
шего отклонения многочлена от данной функции.
3 4
