Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 5 стр.

                                          x − x1             x − x0
                               L( x) =               y0 +              y1 ,            n = 1,                                                                     Начало
                                         x 0 − x1            x1 − x 0
             ( x − x1 )( x − x 2 )           ( x − x 0 )( x − x 2 )         ( x − x 0 )( x − x1 )
   L( x) =                           y0 +                           y1 +                            y2 ,   n = 2.                                                 ввод N
           ( x 0 − x1 )( x 0 − x 2 )       ( x1 − x 0 )( x1 − x 2 )       ( x 2 − x 0 )( x 2 − x1 )
   Существует несколько обобщений интерполяционного многочлена Ла-
                                                                                                                                                                  i=0, N
гранжа. Например, довольно широко используются интерполяционные мно-
гочлены Эрмита. Здесь наряду со значениями функции yi в узлах xi задаются
                                                                                                                                                                   ввод
значения её производной y i′ . Задача состоит в том, чтобы найти многочлен                                                                                       X[i],Y[i]

ϕ (x) степени (2n+1), значения которого удовлетворяют условию интерполя-
ции (1.2), а производная в узлах xi удовлетворяет соотношению                                                                                               ввод Xр , для
                                                                                                                                                        которого вычисляем
                             ϕ ′( x i ) = y i′ , i = 0, 1, K , n .
                                                                                                                                                         значение функции
   В этом случае также существует единственное решение, если все xi раз-
личны.
                                                                                                                                                                  Yр:=0
   На рис. 2 приведена блок-схема метода аппроксимации функции интерпо-
ляционным полиномом Лагранжа.                                                                                                                                    i := 0, N

                                                                                                                                                                                                 вывод
                              1.2. Многочлен Ньютона                                                                                                                P:=1                         Xр, Yр
    Рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента,                                                            т.е.
x i − x i −1 = h = const , i = 1, 2 , K , n . Величина h называется шагом.                                                                                        k:=0, N                        Конец
   Введём также понятие конечных разностей. Пусть известны значения
                                                                                                                                                        нет
функции в узлах xi: yi = f ( xi ) .                                                                                                                                i <> k

   Составим разности значений функции:                                                                                                                                 да
                                                                                                                                                                   P ⋅ (Xр-X[k])
                 Δy 0 = y1 − y 0 = f ( x0 + h) − f ( x0 ),                                                                                                    P :=
                                                                                                                                                                    X[i] - X[k]
                 Δy1 = y 2 − y1 = f ( x0 + 2h) − f ( x0 + h),
                LLLLLLLLLLLLLLLL
                 Δy n−1 = y n − y n−1 = f ( x0 + nh) − f ( x0 + (n − 1)h).
                                                                                                                                                              Yр: =Yр+P⋅Y[i]
   Эти значения Δyi (i=1,2, n-1) называют первыми разностями (или разно-
стями первого порядка) функции.                                                                                                 Рис. 2. Блок-схема метода интерполяции функции полиномом Лагранжа
   Можно составить вторые разности функции:
                                                                                                                              Конечные разности можно выразить непосредственно через значения
            Δ2 y 0 = Δ y1 − Δ y 0 , Δ2 y1 = Δy 2 − Δy1 ,                           Δ2 yi = Δy i − Δyi −1 ,                 функции. Например,
                               i=1, 2, n-2.                                                                                     Δ2 y 0 = Δy1 − Δy 0 = ( y 2 − y1 ) − ( y1 − y 0 ) = y 2 − 2 y1 + y0 ,
   Аналогично составляются разности порядка k:
                                                                                                                                Δ3 y0 = Δ2 y1 − Δ2 y0 = K = y3 − 3 y 2 + 3 y1 − y0 .
                               Δk y i = Δk −1 y i −1 − Δk −1 y i ,          i=1, 2, n-k.
                                                                                                                                Аналогично для любого k можно записать:
                                                                                                                      9    10