ВУЗ:
Составители:
11
0210
)1(
!2
)1(
yy
kk
kyyy
k
kkk
k
−++
−
+−=Δ
−−
K
. (1.11)
Эту формулу можно записать и для значения разности в узле x
i
:
i
k
ikikiki
k
yy
kk
kyyy )1(
!2
)1(
21
−++
−
+−=Δ
−+−++
K
.
Используя конечные разности, можно определить y
k
:
00
2
00
!2
)1(
yy
kk
ykyy
k
k
Δ++Δ
−
+Δ−= K
. (1.12)
Перейдём к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот
многочлен будем искать в следующем виде:
)())(())(()()(
110102010 −
−
−
−
++−
−
+
−+=
nn
xxxxxxaxxxxaxxaaxN KK
. (1.13)
График многочлена должен проходить через заданные узлы,
т.е.
ii
yxN =)(
(
ni ,,1,0 K=
). Эти условия используем для нахождения ко-
эффициентов многочлена:
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
,22))(()()(
,)()(
,)(
2
2
2101202202102
11001101
000
yhahaaxxxxaxxaaxN
yhaaxxaaxN
yaxN
=++=−−+−+=
=+=−+=
==
Найдём отсюда коэффициенты
210
,, aaa :
00
ya
=
,
h
y
h
yy
h
ay
a
00101
1
Δ
=
−
=
−
=
,
2
0
2
2
002
2
102
2
22
2
2
2
h
y
h
yyy
h
haay
a
Δ
=
Δ−−
=
−−
=
.
Аналогично можно найти и другие коэффициенты. Общая формула для их
вычисления имеет вид:
k
k
k
hk
y
a
!
0
Δ
=
,
nk ,,1,0 K=
.
Подставляя эти выражения в формулу (1.13), получаем следующий вид
интерполяционного многочлена Ньютона:
12
).())((
!
))((
!2
)()(
110
0
10
2
0
2
0
0
0
−
−−−
Δ
+
+−−
Δ
+−
Δ
+=
n
n
n
xxxxxx
hn
y
xxxx
h
y
xx
h
y
yxN
K
K
(1.14)
Конечные разности
0
y
k
Δ
могут быть вычислены по формуле (1.11).
Формулу (1.14) часто записывают в другом виде. Для этого вводится пе-
ременная t=(x-x
0
)/h; тогда
htxx
+
=
0
,
1
0
1
−=
−−
=
−
t
h
hxx
h
xx
,
2
2
−=
−
t
h
xx
,…, 1
1
+−=
−
−
nt
h
xx
n
.
С учётом этих соотношений формулу (1.14) можно переписать в виде
.
!
)1()1(
!2
)1(
)(
0
0
2
000
y
n
nttt
y
tt
ytythxN
n
Δ
+−−
+
+Δ
−
+Δ+=+
K
K
(1.15)
Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию y=f(x)
на всём отрезке изменения аргумента [x
0
, x
n
]. С точки зрения повышения точ-
ности расчётов и уменьшения числа членов в (1.15) целесообразно ограни-
читься случаем 0 ≤ t ≤ 1, т.е. использовать формулу (1.15) для
10
xxx ≤≤
.
Для других значений аргумента, например для
21
xxx
≤
≤
, вместо
0
x луч-
ше взять
1
x
. Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона можно
записать в виде
,
!
)1()1(
!2
)1(
)(
2
i
n
iiii
y
n
nttt
y
tt
ytythxN Δ
+
−
−
++Δ
−
+Δ+=+
K
K
K,1,0
=
i
(1.16)
Полученное выражение называется первым интерполяционным многочле-
ном Ньютона для интерполирования вперёд.
Интерполяционную формулу (1.16) обычно используют для вычисления
значений функций в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это
объясняется следующим. Разности
i
k
yΔ
вычисляются через значения функ-
k (k − 1) Δy0 Δ2 y
Δk y 0 = y k − ky k −1 + y k −2 + K + ( −1) k y0 . (1.11) N(x) = y0 + (x − x0 ) + 20 (x − x0 )(x − x1) +K
2! h 2!h (1.14)
Эту формулу можно записать и для значения разности в узле xi: Δn y0
k (k − 1) + (x − x0 )(x − x1)K(x − xn−1 ).
Δk yi = y k + i − kyk + i −1 + y k + i − 2 + K + ( −1) k yi . n!hn
2! Конечные разности Δ y 0 могут быть вычислены по формуле (1.11).
k
Используя конечные разности, можно определить yk:
Формулу (1.14) часто записывают в другом виде. Для этого вводится пе-
k ( k − 1) 2
y k = y 0 − kΔ y 0 + Δ y 0 + K + Δk y 0 . (1.12) ременная t=(x-x0)/h; тогда
2!
x − x1 x − x 0 − h
Перейдём к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот x = x0 + ht , = = t −1,
многочлен будем искать в следующем виде: h h
N(x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) +K+ an (x − x0 )(x − x1 )K(x − xn−1 ) . (1.13) x − x2 x − x n −1
= t−2, , = t − n +1.
График многочлена должен проходить через заданные узлы, h h
С учётом этих соотношений формулу (1.14) можно переписать в виде
т.е. N ( xi ) = yi ( i = 0, 1,K, n ). Эти условия используем для нахождения ко-
t ( t − 1) 2
эффициентов многочлена: N ( x 0 + th ) = y 0 + t Δ y 0 + Δ y0 + K
2! (1.15)
N ( x0 ) = a0 = y0 , t ( t − 1) K (t − n + 1) n
N ( x1 ) = a0 + a1 ( x1 − x0 ) = a0 + a1h = y1 , + Δ y0 .
n!
N ( x2 ) = a0 + a1 ( x2 − x0 ) + a2 ( x2 − x0 )(x2 − x1 ) = a0 + 2a1h + 2a2 h2 = y2 , Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию y=f(x)
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL на всём отрезке изменения аргумента [x0, xn]. С точки зрения повышения точ-
ности расчётов и уменьшения числа членов в (1.15) целесообразно ограни-
Найдём отсюда коэффициенты a0 , a1 , a2 :
читься случаем 0 ≤ t ≤ 1, т.е. использовать формулу (1.15) для x 0 ≤ x ≤ x1 .
y − a0 y − y0 Δy0
a 0 = y 0 , a1 = 1 = 1 = , Для других значений аргумента, например для x1 ≤ x ≤ x 2 , вместо x 0 луч-
h h h
y 2 − a 0 − 2 a1 h y 2 − y 0 − 2 Δ y 0 Δ2 y 0 ше взять x1 . Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона можно
a2 = = = .
записать в виде
2h 2 2h 2 2h 2
Аналогично можно найти и другие коэффициенты. Общая формула для их t ( t − 1) 2 t ( t − 1) K ( t − n + 1) n
N ( x i + th ) = y i + t Δ y i + Δ yi + K + Δ yi ,
вычисления имеет вид: 2! n!
i = 0, 1, K (1.16)
Δk y 0
ak = , k = 0, 1, K , n . Полученное выражение называется первым интерполяционным многочле-
k!h k
ном Ньютона для интерполирования вперёд.
Подставляя эти выражения в формулу (1.13), получаем следующий вид
Интерполяционную формулу (1.16) обычно используют для вычисления
интерполяционного многочлена Ньютона:
значений функций в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это
объясняется следующим. Разности Δ y i вычисляются через значения функ-
k
11 12
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
