Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 3 стр.

   Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек   xi ,                         ϕ( x ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + K + a n x n       (1.3)
то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование,      используется для интерполяции функции f(x) на всем рассматриваемом ин-
среднеквадратичное приближение и др. При построении приближения на не-       тервале изменения аргумента х. Коэффициенты a j многочлена (1.3) находят-
прерывном множестве точек, например, на отрезке [a, b] аппроксимация на-
                                                                             ся из системы уравнений (1.2). Можно показать, что при x i ≠ x k    (i ≠ k )
зывается непрерывной (или интегральной).
   Точечная аппроксимация                                                    эта система имеет единственное решение.
   Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполи-           Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных
рование. Оно состоит в следующем: для данной функции y=f(x) строим мно-      частей рассматриваемого интервала изменения х. В этом случае имеем кусоч-
гочлен (1.1), принимающий в заданных точках хi, те же значения yi, что и     ную (или локальную) интерполяцию.
функция f ( xi ) , т. е.                                                        Как правило, интерполяционные многочлены используются для аппрок-
                                                                             симации функции в промежуточных точках между крайними узлами интер-
                           ϕ( xi ) = yi ,   i = 0, 1,K, n .         (1.2)    поляции, т. е. при x 0 < x < x n . Однако иногда они используются и для при-
   При этом предполагается, что среди значений x i нет одинаковых, т. е.     ближенного        вычисления функции вне рассматриваемого            отрезка
xi ≠ xk при i ≠ k . Точки x i называются узлами интерполяции, а многочлен    ( x < x0 , x > xn ) . Это приближение называют экстраполяцией.
ϕ (x ) - интерполяционным многочленом.                                           Как видим, при интерполировании основным условием является прохож-
                                                                             дение графика интерполяционного многочлена через данные значения функ-
                                                                             ции в узлах интерполяции. Однако в ряде случаев выполнение этого условия
         yn                                                                  затруднительно или даже нецелесообразно.
          .                                                                      Например, при большом количестве узлов интерполяции получается вы-
          .                                                                  сокая степень многочлена (1.3) в случае глобальной интерполяции, т. е. когда
          .                                                                  нужно иметь один интерполяционный многочлен для всего интервала изме-
                                                                             нения аргумента. Кроме того, табличные данные могли быть получены путем
         y1
                                                                             измерений и содержать ошибки. Построение аппроксимирующего многочле-
                                                                             на с условием обязательного прохождения его графика через эти эксперимен-
                                                                             тальные точки означало бы тщательное повторение допущенных при измере-
         y0                                                                  ниях ошибок. Выход из этого положения может быть найден выбором такого
                                                                X            многочлена, график которого проходит близко от данных точек (рис. 1, пунк-
                                                                             тирная линия). Понятие «близко» уточняется при рассмотрении разных видов
                   x0             x1        . . .         xn
                                                                             приближения.
              Рис. 1. Построение интерполяционного многочлена
                                                                                 Одним из таких видов является среднеквадратичное приближение функ-
   Таким образом, близость интерполяционного многочлена к заданной           ций с помощью многочлена (1.1). При этом m ≤ n ; случай m=n соответству-
функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе то-     ет интерполяции. На практике стараются подобрать аппроксимирующий мно-
чек (рис. 1, сплошная линия).                                                гочлен как можно меньшей степени (как правило, m= 1, 2, 3).
   Максимальная степень интерполяционного многочлена m = n; в этом слу-
чае говорят о глобальной интерполяции, поскольку один многочлен

                                                                        5    6