Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 21 стр.

    Говорят, что метод имеет p-й порядок точности, если существует число                   Алгоритмы (2.9) и (2.10) можно записать в виде одного соотношения:
р>0 такое, что │ ei │= O(h p) для всех i=1,2, ,n при h→0.                                              yi+1= yi + h/2 [f (xi, yi) + f (xi+1, yi + hf (xi, yi))], i=0, 1,...
    Из разностной схемы (2.8) следует, что погрешность аппроксимации явля-                 Эти рекуррентные соотношения описывают новую разностную схему, яв-
ется величиной О(h2) при h→0. Погрешность аппроксимации состоит из двух                ляющуюся модификацией метода Эйлера, которая называется методом Эйле-
частей: ei = e'i + e''i.                                                               ра с пересчетом или модифицированным методом Эйлера. Можно показать,
    Составляющая e'i определяется погрешностью начального значения e0 = y0             используя разложение по формуле Тейлора, что этот метод имеет второй по-
-Y(x0). Как правило, начальное значение задается точно, т.е. y0 = Y(x0), и тогда       рядок точности. Его применение к решению задачи Коши уменьшает в сред-
e0 = 0 и следовательно, равна нулю та часть погрешности решения e'i, которая           нем значения погрешностей до величин O(h2) вместо O(h) в обычном методе
связана с e0.                                                                          Эйлера.
    Погрешность e''i обусловлена отброшенными членами в разложении по                      На рис. 11 дана геометрическая интерпретация первого шага вычислений
формуле Тейлора. На каждом шаге эта погрешность имеет порядок О(h2), так               при решении задачи Коши модифицированным методом Эйлера. Касательная
как именно члены такого порядка отброшены.                                             к кривой Y(x) в точке (x0, y0) проводится с угловым коэффициентом y'0 =
    При нахождении решения в точке xn, отстоящей на конечном расстоянии                f(x0,y0). С ее помощью методом Эйлера найдено значение ў1, которое исполь-
X от точки x0, погрешность, в чем легко убедиться, суммируется. Суммарная              зуется затем для определения наклона касательной f(x1, ў1) в точке А. Отрезок
погрешность, очевидно, равна nO(h2).                                                   с таким наклоном заменяет первоначальный отрезок касательной от точки x0
    Если учесть, что h=X/n, то для суммарной погрешности получаем оконча-              + h/2 до точки x1. В результате получается уточненное значение искомой
тельное выражение:                                                                     функции у1 в этой точке. Блок-схема метода приведена на рис.12.
                            nO ( h 2 ) =
                                           X
                                             O (h 2 ) = O (h ) .
                                                                                                              y                     Y(x)
                                           h                                                                                               y1
   Таким образом, мы показали, что метод Эйлера имеет первый порядок                                                                            уточнение
точности.                                                                                                                                  y1
                                                                                                                      y0        А
                    2.1.2. Модифицированный метод Эйлера
   Приведем еще одну схему метода Эйлера. Значение правой части f(x, Y)
уравнения в схеме возьмем равным среднему арифметическому значению                                                0
                                                                                                                                                      х
                                                                                                                                h/2 х1
между f(xi, yi) и f(xi+1, yi+1), т. е. вместо разностной схемы (2.8) запишем:                                          х0 h/2
                      yi+1 = yi + h/2 [f(xi, yi) + f(xi+1, yi+1)], i=0,1,...            Рис.11. Геометрическая интерпретация модифицированного метода Эйлера.
   Полученная схема является неявной, поскольку искомое значение уi+1 вхо-
дит в обе части соотношения и его, вообще говоря, нельзя выразить явно. Для               Разностную схему модифицированного метода Эйлера можно получить
вычисления yi+1 можно применить один из итерационных методов. Если име-                иначе, используя разложение функции по формуле Тейлора. Запишем это
ется хорошее начальное приближение yi, то можно построить решение с ис-                разложение в виде:
пользованием двух итераций следующим образом. Считая yi начальным при-                                         yi+1 = yi + hyi' + h2/2*yi'' + O (h3).      (2.11)
ближением, вычисляем первое приближение ўi+1 по формуле:                                  В этой схеме должен быть сохранен член с h2. Для этого аппроксимируем
                                  ўi+1 = yi + hf (xi, yi).                     (2.9)   вторую производную с помощью отношения конечных разностей:
   Новое значение ўi+1 подставляем вместо yi+1 в правую часть соотношения и                                                  y ′ − y i′
находим уточненное значение                                                                                           y i′′ = i +1      + O (h) .          (2.12)
                                                                                                                                   h
                            yi+1 = yi + h/2 [f(xi, yi) + f(xi+1, ўi+1)].      (2.10)
                                                                                          Подставляя это соотношение в (2.11), получаем:
                                                                                41     42