ВУЗ:
Составители:
39
Требуемое здесь значение y
0
задано начальным условием, т. е. y
0
= Y(x
0
) =
Y
0
. Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других
узлах:
y
2
= y
1
+ hf(x
1
, y
1
),
…………………...
y
n
= y
n-1
+ hf(x
n-1
, y
n-1
).
Построенный алгоритм называется методом Эйлера. Разностная схема
этого метода представлена соотношениями (2.8), которые можно представить
в виде рекуррентной формулы:
y
0
= y
0
+hf(x
0
,y
0
),
где у
0
, стоящее справа от знака равенства – значение сеточной функции в
предыдущем узле x
0
, а y
0
, стоящее слева от знака равенства - значение сеточ-
ной функции в следующем узле x
0
+h. Метод Эйлера относится к одношаго-
вым методам (q=0, s=0). На рис. 9 дана геометрическая интерпретация метода
Эйлера.
На рисунке изображены первые два шага, т. е. проиллюстрировано вычис-
ление сеточной функции в узлах x
1
, x
2
. Интегральные кривые 0, 1, 2 описыва-
ют точные решения уравнения. При этом кривая 0 соответствует точному
решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку A(x
0
, y
0
).
Точки В, С получены в результате численного решения задачи Коши методом
Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При
выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную
кривую. Отрезок АВ - отрезок касательной к кривой 0 в точке А, ее наклон
характеризуется значением производной y'
0
= f(x
0
, y
0
). Касательная ВС уже
проводится к другой интегральной кривой 1. Таким образом, погрешность
метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге решение переходит на
другую интегральную кривую.
A
х
х
2
х
1
х
0
2
1
0
y
1
y
2
y
0
B
C
y
0
Рис.9. Геомет
р
ическая инте
р
п
р
ета
ц
ия мето
д
а Эйле
р
а
40
Блок-схема алгоритма решения задачи Коши методом Эйлера приведена
на рис.10.
Замечание.
Если в задании указан отрезок [x
0
, x
k
] и шаг h, то необходи-
мое число интервалов n можно вычислить по форму-
ле:
),/)((
0
hxxroundn
k
−
=
где функция round определяет ближайшее целое
вещественного числа. Далее следует пересчитать величину шага по формуле:
nxxh
k
/)(
0
−
=
.
Рассмотрим подробнее вопрос о погрешности метода Эйлера.
Погрешность e
i
в точке x
i
, равная разности между значением сеточной
функции y
i
(x
i
) и точным значением искомой функции Y(x
i
): e
i
= y
i
(x
i
) - Y(x
i
),
называется погрешностью аппроксимации.
При использовании приближенных методов основным является вопрос о
сходимости. Применительно к разностным методам, к которым относится и
метод Эйлера, наибольшее распространение получило понятие сходимости
при h→0. Оно означает следующее. Фиксируем точку X и построим последо-
вательность сеток x
i
= i·h, i=0,1,…,n. Говорят, что метод сходится в точке x
i
,
если погрешность аппроксимации │ e
i
│→0 при h→0. Метод сходится на
отрезке (0, X], если он сходится в каждой точке отрезка.
Начало
ввод Х0,
Y0,
h,
N
печать
‘X Y’
i := 1, N
Y0 := Y0+h*F(X0, Y0)
X0 := X0+h
Печать
X0, Y0
Печать
X0, Y0
Конец
Рис.10. Блок-схема метода Эйлера
Требуемое здесь значение y0 задано начальным условием, т. е. y0 = Y(x0) = Блок-схема алгоритма решения задачи Коши методом Эйлера приведена
Y0. Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других на рис.10.
узлах:
Начало
y2 = y1 + hf(x1, y1),
... ввод Х0,
Y0, h, N
yn = yn-1 + hf(xn-1, yn-1).
Построенный алгоритм называется методом Эйлера. Разностная схема
печать
этого метода представлена соотношениями (2.8), которые можно представить X Y
в виде рекуррентной формулы:
Печать
y0 = y0+hf(x0,y0), X0, Y0
где у0, стоящее справа от знака равенства значение сеточной функции в
предыдущем узле x0, а y0, стоящее слева от знака равенства - значение сеточ- i := 1, N
ной функции в следующем узле x0+h. Метод Эйлера относится к одношаго- Конец
Y0 := Y0+h*F(X0, Y0)
вым методам (q=0, s=0). На рис. 9 дана геометрическая интерпретация метода X0 := X0+h
Эйлера.
0 1 2 Печать
y X0, Y0
C
B Рис.10. Блок-схема метода Эйлера
A Замечание. Если в задании указан отрезок [x0, xk] и шаг h, то необходи-
y0 y1 y2 мое число интервалов n можно вычислить по форму-
0 ле: n = round (( xk − x0 ) / h), где функция round определяет ближайшее целое
х0 х1 х2 х
вещественного числа. Далее следует пересчитать величину шага по формуле:
Рис.9. Геометрическая интерпретация метода Эйлера
h = ( x k − x0 ) / n .
На рисунке изображены первые два шага, т. е. проиллюстрировано вычис-
ление сеточной функции в узлах x1, x2. Интегральные кривые 0, 1, 2 описыва- Рассмотрим подробнее вопрос о погрешности метода Эйлера.
ют точные решения уравнения. При этом кривая 0 соответствует точному Погрешность ei в точке xi , равная разности между значением сеточной
решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку A(x0, y0). функции yi(xi) и точным значением искомой функции Y(xi): ei= yi(xi) - Y(xi),
Точки В, С получены в результате численного решения задачи Коши методом называется погрешностью аппроксимации.
Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При При использовании приближенных методов основным является вопрос о
выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную сходимости. Применительно к разностным методам, к которым относится и
кривую. Отрезок АВ - отрезок касательной к кривой 0 в точке А, ее наклон метод Эйлера, наибольшее распространение получило понятие сходимости
характеризуется значением производной y'0 = f(x0, y0). Касательная ВС уже при h→0. Оно означает следующее. Фиксируем точку X и построим последо-
проводится к другой интегральной кривой 1. Таким образом, погрешность вательность сеток xi= i·h, i=0,1, ,n. Говорят, что метод сходится в точке xi,
метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге решение переходит на если погрешность аппроксимации │ ei │→0 при h→0. Метод сходится на
другую интегральную кривую. отрезке (0, X], если он сходится в каждой точке отрезка.
39 40
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
