Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 18 стр.

    Наиболее часто встречаются два типа задач: задача Коши и краевая зада-    наклон касательной к интегральной кривой в данной точке, то при y' = k =
ча. В качестве дополнительных условий могут задаваться значения искомой       сonst, из (2.1) получим f(x, y) = k - уравнение линии постоянного наклона, на-
функции и ее производных при некоторых значениях независимой перемен-         зываемой изоклиной. Меняя k, получаем семейство изоклин.
ной, т. е. в некоторых точках. Если эти условия задаются в одной точке, то        С некоторыми аналитическими методами пользователь знаком по курсу
такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче         высшей математики. Для ряда уравнений первого порядка (с разделяющими-
Коши называются начальными условиями, а точка x = x0, в которой они зада-     ся переменными, однородными, линейными и др.), а также для некоторых
ются - начальной точкой.                                                      типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными ко-
    В общем виде задача Коши для дифференциального уравнения 1-го по-         эффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитиче-
рядка выглядит следующим образом:                                             ских преобразований.
                                dy                                                Приближенные методы используют различные упрощения самих уравне-
                                     = f ( x, y ),                    (2.3)
                                dx                                            ний путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них чле-
                                y ( x0 ) = y 0 .                              нов, а также специальным выбором классов искомых функций.
   Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е.          Например, в некоторых инженерных задачах удается представить реше-
при разных значениях независимой переменной, то такая задача называется       ние в виде суммы двух составляющих, первое из которых определяет основ-
краевой. Сами дополнительные условия называются при этом граничными           ное решение, а второе - малая добавка (возмущение), квадратом которой
(или краевыми) условиями. На практике обычно граничные условия задаются       можно пренебречь. На этом основаны различные методы линеаризации. В
в двух точках x = a и х = b, являющихся границами области решения диффе-      приближенных методах также широко используется разложение решения в
ренциального уравнения. Постановка краевой задачи для дифференциального       ряд по некоторому параметру, содержащемуся в данной задаче. К данной
уравнения 1-го порядка:                                                       группе методов относятся и асимптотические методы, с помощью которых
                            dy                                                получаются решения, описывающие предельную картину рассматриваемого
                                = f ( x, y ),                       (2.4)     явления.
                            dx
                            y (a) = y1 , y (b) = y 2 .                            В данном пособии рассматриваются численные методы решения диффе-
   Приведём примеры постановки задач Коши для обыкновенных дифферен-          ренциальных уравнений, которые в настоящее время являются основным ин-
циальных уравнений 1-го порядка:                                              струментом при исследовании инженерных задач, описываемых дифферен-
                        dx/dt=x2cos(t), t>0, x(0)=1;                          циальными уравнениями.
                    y’’=y’/x+x2, x>1, y(1)=2, y’(1)=0.                            Наиболее распространенным и универсальным численным методом реше-
   Краевые задачи:                                                            ния дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Его
                y’’+2y’-y=sin(x), 0 ≤ x ≤ 1 , y(0)=1, y(1)=0;                 сущность состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента
                                                                              (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек xi , i=0,1, ,n,
              y’’’=x+yy’, 1 ≤ x ≤ 3,  y(1)=0, y’(1)=1, y’(3)=2.
                                                                              называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Расстояние ме-
   Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно
                                                                              жду двумя соседними узлами hi=xi+1 - xi , i=0,1, ,n-1 называется шагом сет-
разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные
                                                                              ки. Часто используют равностоящие узлы, для которых hi=h=const. Искомая
(численные).
                                                                              функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дис-
   Графические методы используют геометрические построения. В частно-
                                                                              кретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной.
сти, одним из них является метод изоклин для решения дифференциальных
                                                                              Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением
уравнений первого порядка вида. Поскольку производная y' характеризует
                                                                              относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение произ-
                                                                        35    36