Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 17 стр.

                2. Методы решения обыкновенных                                       Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линей-
                   дифференциальных уравнений                                   ное относительно искомой функции и ее производных. Например,
                                                                                y' - x2y = sin(x) - линейное уравнение первого порядка.
   Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или не-                   Решением дифференциального уравнения (2.1) называется всякая функция
сколько производных. Инженеру очень часто приходится сталкиваться с ни-         у=f(x), которая после ее подстановки в исходное уравнение превращает его в
ми при разработке новых изделий или технологических процессов, так как          тождество.
большая часть законов физики формулируется именно в виде дифференци-                 Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го по-
альных уравнений. В сущности, большинство задач проектирования, связан-         рядка содержит n произвольных постоянных С1, С2, ..., Cn, т. е. общее реше-
ных с расчётом потоков энергии или движения тел, в конечном счёте сводит-       ние уравнения имеет вид:
ся к решению дифференциальных уравнений. К сожалению, лишь очень не-                                             y = f (x, С1, С2, ..., Cn).           (2.2)
многие из них удаётся решить без помощи вычислительных машин. Поэтому                Частное решение дифференциального уравнения получается из общего,
численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную               если произвольным постоянным придать определенные значения. Для урав-
роль в практике инженерных расчётов.                                            нения первого порядка общее решение зависит от одной произвольной посто-
   В зависимости от числа независимых переменных дифференциальные               янной:
уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные                                                 y = f (x, С).
дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную,                  Если постоянная принимает определенное значение C=С0, то получим ча-
и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых             стное решение
переменных. Данная глава посвящена методам решения обыкновенных диф-                                                  y = f (x, С0).
ференциальных уравнений.                                                             Локальная теорема о существовании и единственности решения: если
   Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие                 в уравнении dy =f(x, y) функция f непрерывна в некоторой области G={x0-a ≤
уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой                           dx
функции у = у’(х). Их можно записать в виде:                                    x ≤ x0+a, y0-b ≤ y ≤ y0+b} и удовлетворяет в G условию Липшица
                                F(x, y, y', ..., y(n)) = 0 ,            (2.1)                            f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) ≤ γ ⋅ y1 − y2 ,
где x - независимая переменная.
                                                                                где γ - постоянная, то существует такое число α , что на отрезке x0-α ≤ x ≤
   Наивысший порядок n входящей в уравнение (2.1) производной называет-
                                                                                x0+α существует единственное решение ~
                                                                                                                     y ( x0 ) = y0 .
ся порядком дифференциального уравнения. В частности, запишем уравнения
первого и второго порядков:                                                       Замечание. Выполнение условия Липшица можно заменить более силь-
                      F(x, y, y') = 0,            F(x, y, y', y'') = 0.         ным условием, накладываемым на функцию f(x,y) – должна существовать ог-
   В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения удается           раниченная по модулю частная производная df ( x, y ) в области G.
выразить старшую производную в явном виде. Например,                                                                                  dy
                                        y' = f(x, y),                               Для выделения частного решения из общего нужно задавать столько до-
                                     y'' = f(x, y, y').                         полнительных условий, сколько произвольных постоянных в общем решении,
   Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно           т. е. каков порядок уравнения. Следовательно, для уравнения первого порядка
старшей производной.                                                            нужно задать одно дополнительное условие, для уравнения второго порядка -
                                                                                два дополнительных условия и т.д.


                                                                          33    34