Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

29
Поскольку параметры a
0
и a
1
выступают в роли независимых переменных
функции S , то её минимум найдём, приравнивая нулю частные производные
по этим переменным
0,0
10
=
∂
∂
=
∂
∂
a
S
a
S
. (1.39)
Запишем систему в следующем виде
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=⋅−+=
∂
∂
=−+=
∂
∂
∑
∑
=
=
n
i
iii
n
i
ii
xyxaa
a
S
yxaa
a
S
0
10
1
0
10
0
0)(2
0)(2
(1.40)
Из системы (1.40) находят неизвестные параметры a
0
и a
1
.
Деление обоих уравнений системы на 2, раскрытие скобок и приведение
подобных при параметрах a
0
и a
1
даёт следующую систему
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
++=
∑∑∑
∑∑
===
==
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
xaxaxy
xanay
0
2
1
0
0
0
0
10
0
)1(
(1.41)
Введём обозначения
∑
=
=
n
i
i
yS
0
1
;
∑
=
=
n
i
i
xS
0
2
;
∑
=
=
n
i
ii
xyS
0
3
;
∑
=
=
n
i
ii
xyS
0
2
4
.
Получим простую систему уравнений относительно параметров a
0
и a
1
:
⎩
⎨
⎧
+=
++=
41203
2101
)1(
SaSaS
SanaS
.
Из первого уравнения системы находим
1
211
0
+
−
=
n
SaS
a
.
Подставляя а
0
во второе уравнение системы, получим
2
24
123
1
)1(
)1(
SSn
SSSn
a
−+
−
+
=
;
2
24
3241
0
)1( SnS
SSSS
a
−+
−
=
.
Блок-схема метода наименьших квадратов приведена на рис.8.
30
Начало
Ввод n
i = 0, n
ввод
X[i], Y[i]
i = 0, n
S1 := S1+Y[i]
S2 := S2+X[i]
S3 := S3+X[i] ⋅Y[i]
S4 := S4+X
2
[i]
D := S4⋅ (n+1)-S2
2
a
0
:= (S1⋅S4-S2⋅S3)/D
a
1
:= (n+1) ⋅S3
-S2
⋅S1)/D
печать
‘Y= ‘, a
0
,’+’,
a
1
,’ ⋅ X’
S: = 0
1
S1:=0; S2:=0;
S3:=0; S4:=0 
   Поскольку параметры a0 и a1 выступают в роли независимых переменных
                                                                                                                   Начало
функции S , то её минимум найдём, приравнивая нулю частные производные
по этим переменным
                           ∂S         ∂S                                                                           Ввод n
                               = 0,       = 0.                    (1.39)
                           ∂a0        ∂a1
   Запишем систему в следующем виде                                                                                 i = 0, n

                              ⎧ ∂S       n

                              ⎪ ∂a = 2∑ (a0 + a1 xi − yi ) = 0                                                      ввод              S1:=0; S2:=0;
                              ⎪ 0      i =0                                                 (1.40)
                              ⎨                                                                                   X[i], Y[i]          S3:=0; S4:=0
                              ⎪ ∂S = 2 (a + a x − y ) ⋅ x = 0
                                        n

                              ⎪⎩ ∂a1  ∑
                                      i =0
                                            0  1 i     i     i


   Из системы (1.40) находят неизвестные параметры a0 и a1.
   Деление обоих уравнений системы на 2, раскрытие скобок и приведение
                                                                                                                    i = 0, n
подобных при параметрах a0 и a1 даёт следующую систему
                              ⎧ n                                n

                              ⎪ ∑ y i = a 0 ( n + 1) + a1 ∑ x i                             (1.41)             S1 := S1+Y[i]
                              ⎪ i=0                            i=0
                              ⎨ n                                                                              S2 := S2+X[i]
                                                      n           n
                              ⎪
                                ∑
                              ⎪⎩ i = 0
                                       y i x i = a 0 ∑ x i + a1 ∑ x i2
                                                     i=0        i=0
                                                                                                             S3 := S3+X[i] ⋅Y[i]
                                                                                                              S4 := S4+X[i]
                                                                                                                            2

   Введём обозначения
                    n                 n                  n                      n
             S1 = ∑ yi ; S 2 = ∑ xi ; S3 = ∑ yi xi ;                     S 4 = ∑ yi xi2 .
                   i=0              i =0                i =0                   i =0

   Получим простую систему уравнений относительно параметров a0 и a1:                                         D := S4⋅ (n+1)-S22

                                  ⎧ S1 = a 0 ( n + 1) + a1 S 2 .
                                  ⎨                                                                         a0 := (S1⋅S4-S2⋅S3)/D
                                  ⎩ S 3 = a 0 S 2 + a1 S 4                                                a1 := (n+1) ⋅S3-S2⋅S1)/D
   Из первого уравнения системы находим
                                             S − a1 S 2 .
                                     a0 = 1                                                                         печать
                                               n +1                                                        ‘Y= ‘, a0,’+’, a1,’ ⋅ X’
   Подставляя а0 во второе уравнение системы, получим
                    ( n + 1) S 3 − S 2 S 1 ;               S1 S 4 − S 2 S 3 .
               a1 =                                  a0 =                                                           S: = 0
                     ( n + 1) S 4 − S 22                  S 4 ( n + 1) − S 22
   Блок-схема метода наименьших квадратов приведена на рис.8.
                                                                                                                       1




                                                                                               29    30

Страницы