ВУЗ:
Составители:
27
Задача состоит в том, чтобы определить такие значения этих параметров,
при которых эмпирическая формула даёт хорошее приближение данной
функции, значения которой в точках
i
x
равны
i
y
(
ni ,,1,0 K
=
).
Разность между значениями опытных данных
i
y
и значениями эмпириче-
ской функции в точках
i
x (отклонения) обозначим через
i
ξ
. Тогда
imii
yaaax
−
=
),,,,(
10
K
ϕ
ξ
, (1.32)
ni ,,1,0 K=
.
Задача нахождения наилучших значений параметров
m
aaa ,,,
10
K
сводится к некоторой минимизации отклонений
i
ξ
. Одном из способов реше-
ния данной задачи является метод наименьших квадратов.
Основная идея метода. Запишем сумму квадратов отклонений (1.32) для
всех точек
n
xxx ,,,
10
K
:
∑∑
==
−==
n
i
imi
n
i
i
yaaaxS
0
2
10
0
2
]),,,,([ K
ϕξ
. (1.33)
Параметры
m
aaa ,,,
10
K
эмпирической формулы (1.31) будем нахо-
дить из условия минимума функции
),,,(
10 m
aaaSS K=
. В этом состоит суть
метода наименьших квадратов.
Поскольку параметры
m
aaa ,,,
10
K
выступают в роли независимых пе-
ременных функции S , то её минимум найдём, приравнивая к нулю частные
производные по этим переменным (необходимое условие экстремума функ-
ции):
0,,0,0
10
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
m
a
S
a
S
a
S
K
. (1.34)
Полученные соотношения (1.34) – система уравнений для определения
m
aaa ,,,
10
K
.
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного слу-
чая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической формулы
рассмотрим многочлен
m
m
xaxaax +++= K
10
)(
ϕ
(1.35)
28
Формула (1.33) для определения суммы квадратов отклонений S примет
вид
∑
=
−+++=
n
i
i
m
imi
yxaxaaS
0
2
10
)( K
(1.36)
Для составления системы уравнений (1.34) найдём частные производные
функции
),,,(
10 m
aaaSS K
=
:
∑
∑
∑
=
=
=
−+++=
∂
∂
−+++=
∂
∂
−+++=
∂
∂
n
i
m
ii
m
imi
m
n
i
ii
m
imi
n
i
i
m
imi
xyxaxaa
a
S
xyxaxaa
a
S
yxaxaa
a
S
0
10
0
10
1
0
10
0
.)(2
,)(2
),(2
K
LLLLLLLLLLLLLLLL
K
K
Приравнивая эти выражения к нулю в соответствиями с уравнениями
(1.34) и собирая коэффициенты при неизвестных
m
aaa ,,,
10
K
получаем
следующую систему уравнений:
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
===
+
=
+
=
==
+
===
====
=++++
=++++
=++++⋅+
n
i
i
m
i
n
i
m
im
n
i
m
i
n
i
m
i
n
i
m
i
n
i
ii
n
i
m
im
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
m
im
n
i
i
n
i
i
yxxaxaxaxa
yxxaxaxaxa
yxaxaxaan
00
2
0
2
2
0
1
1
0
0
00
1
0
3
2
0
2
1
0
0
000
2
2
0
10
.
,
,)1(
K
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
K
K
(1.37)
Решая эту систему линейных уравнений (1.37), получаем коэффициенты
m
aaa ,,,
10
K
многочлена (1.35), которые являются искомыми параметра-
ми эмпирической формулы.
Пусть даны некоторые экспериментальные значения (
ii
yx ,
), анализируя
которые можно предположить, что искомая функция y
р
линейно зависит от
переменной x:
y
р
= a
0
+ a
1
x. (1.38)
Будем определять параметры a
0
и a
1
так, чтобы сумма квадратов отклоне-
ний экспериментальных значений y
i
от прямой (1.38) была минимальна, т.е.
()
),(min))(
10
,
1
2
10
1
2
aaSyxaayyS
ba
n
i
ii
n
i
ip
=−+=−=
∑∑
==
.
Задача состоит в том, чтобы определить такие значения этих параметров, Формула (1.33) для определения суммы квадратов отклонений S примет
при которых эмпирическая формула даёт хорошее приближение данной вид
функции, значения которой в точках x i равны y i ( i = 0 , 1, K , n ). n
S = ∑ ( a0 + a1 xi + K + a m xim − yi ) 2 (1.36)
Разность между значениями опытных данных y i и значениями эмпириче- i =0
Для составления системы уравнений (1.34) найдём частные производные
ской функции в точках xi (отклонения) обозначим через ξ i . Тогда
функции S = S (a 0 , a1 , K , a m ) :
ξ i = ϕ ( xi , a 0 , a1 , K , a m ) − y i , (1.32)
∂S n
= 2∑ ( a 0 + a1 x i + K + a m x im − y i ),
i = 0, 1,K , n . ∂a 0 i =0
Задача нахождения наилучших значений параметров a 0 , a 1 , K , a m ∂S n
= 2∑ ( a 0 + a1 x i + K + a m x im − y i ) x i ,
∂a1 i =0
сводится к некоторой минимизации отклонений ξ i . Одном из способов реше- LLLLLLLLLLLLLLLL
∂S n
ния данной задачи является метод наименьших квадратов. = 2∑ ( a 0 + a1 x i + K + a m x im − y i ) x im .
Основная идея метода. Запишем сумму квадратов отклонений (1.32) для ∂a m i =0
всех точек x 0 , x1 , K , x n : Приравнивая эти выражения к нулю в соответствиями с уравнениями
n n (1.34) и собирая коэффициенты при неизвестных a 0 , a1 , K , a m получаем
S = ∑ ξ i2 =
i=0
∑ [ϕ ( x i , a 0 , a1 , K , a m ) − y i ] 2 .
i=0
(1.33)
следующую систему уравнений:
n n n n
Параметры a 0 , a 1 , K , a m эмпирической формулы (1.31) будем нахо- ( n + 1) ⋅ a 0 + a1 ∑ x i + a 2 ∑ x i2 + K + a m ∑ x im = ∑ y i ,
i =0 i =0 i =0 i =0
дить из условия минимума функции S = S(a0 , a1 , K, am ) . В этом состоит суть n n n n n
a 0 ∑ x i + a1 ∑ x + a 2 ∑ x + K + a m ∑ x
i
2 3
i
m +1
i = ∑ xi y i , (1.37)
метода наименьших квадратов. i =0 i =0 i =0 i =0 i =0
Поскольку параметры a 0 , a 1 , K , a m выступают в роли независимых пе- L LL LLL LL LL LLL LL LL LL LLL LL
n n n n n
a 0 ∑ x im + a1 ∑ x im +1 + a 2 ∑ x im + 2 + K + a m ∑ x i2 m = ∑ x im y i .
ременных функции S , то её минимум найдём, приравнивая к нулю частные i =0 i =0 i=0 i =0 i =0
производные по этим переменным (необходимое условие экстремума функ- Решая эту систему линейных уравнений (1.37), получаем коэффициенты
ции):
a 0 , a 1 , K , a m многочлена (1.35), которые являются искомыми параметра-
∂S ∂S ∂S
= 0, = 0, K , = 0. (1.34) ми эмпирической формулы.
∂a 0 ∂ a1 ∂a m
Пусть даны некоторые экспериментальные значения ( x i , y i ), анализируя
Полученные соотношения (1.34) система уравнений для определения
a 0 , a1 , K , a m . которые можно предположить, что искомая функция yр линейно зависит от
переменной x:
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного слу-
yр = a0 + a1x. (1.38)
чая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической формулы
Будем определять параметры a0 и a1 так, чтобы сумма квадратов отклоне-
рассмотрим многочлен
ний экспериментальных значений yi от прямой (1.38) была минимальна, т.е.
ϕ ( x ) = a 0 + a1 x + K + a m x m (1.35) n n
∑ (y − y i ) 2 = ∑ (a 0 + a1 x i − y i ) ) = min S ( a 0 , a1 ) .
2
S = p
a ,b
i =1 i =1
27 28
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
