Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 22 стр.

                        h                   h2                          h                                                      2.1.3. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности
         yi +1 = yi +     ( yi′ + yi′+1 ) +    O ( h) + O ( h 3 ) = yi + ( yi′ + yi′+1 ) + O ( h 3 ) .   (2.13)
                        2                   2                           2                                             Численный метод Рунге-Кутта часто используется для решения задач на-
   Заменяя производные выражениями                                                                                учного и инженерно-технического характера. Метод эффективен, надёжен и
                    y i′ = f ( x i , y i ) , y i′+1 = f ( x i +1 , ~
                                                                   y i +1 ) , (2.14)                              легко реализуется программными средствами. Существует несколько разно-
    ~                                                                                                             видностей метода Рунге-Кутта, различающиеся порядком точности. Рассмот-
где y i + 1 найдено по формуле метода Эйлера, приходим к разностной схеме
                                                                                                                  рим метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности для решения задачи Коши
(2.9) модифицированного метода Эйлера. Такой способ вывода формулы по-                                            (2.3).
зволил получить оценку погрешности метода в соответствии с (2.13). По-                                                В данном методе вводятся четыре вспомогательные величины k0, k1, k2 и
грешность на каждом шаге (локальная) имеет порядок h3 , а суммарная - по-                                         k3. Вычисление координат очередной точки (xi+1, yi+1), исходя из уже извест-
рядок h2 : nO ( h 3 ) = X O ( h 3 ) = O ( h 2 ) .Таким образом, модифицированный                                  ных координат предыдущей точки, происходит по следующей схеме:
                               h
                                                                                                                                                   1
метод Эйлера имеет второй порядок точности.                                                                                          y i +1 = y i + ⋅ (k 0 + 2k1 + 2k 2 + k 3 ) , i = 0, 1,
                                                                                                                                                   6
    С помощью модифицированного метода Эйлера можно проводить кон-
                                                                                                                                            k 0 = h ⋅ f ( xi , y i ) ,
троль точности решения путем сравнения значений ~
                                                y i +1 и                                 y i +1 и выбора на                             k1 = h ⋅ f ( xi + h / 2, yi + k0 / 2) ,        (2.15)
основании этого соответствующей величины шага h в каждом узле. А имен-                                                                  k 2 = h ⋅ f ( xi + h / 2, y i + k1 / 2) ,
но, если величина y i + 1 − ~y i + 1 сравнима с погрешностями вычислений, то
                                                                                                                                        k 3 = h ⋅ f ( x i + h, y i + k 2 ) .
шаг нужно увеличить; в противном случае, если эта разность слишком велика                                            Таким образом, метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырехкрат-
(например, y i +1 − ~y i +1 > 0 . 01 y i +1 ), значение h следует уменьшить. Исполь-                              ного вычисления правой части уравнения f(x, y).
зуя эти оценки, можно построить алгоритм модифицированного метода Эй-                                                Данный метод требует большого объёма вычислений, однако это окупает-
лера с автоматическим выбором шага.                                                                               ся повышенной точностью, что даёт возможность проводить счёт с большим
                                                    Начало                                                        шагом.
                                                                                                                     Блок-схема метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности входит в качестве
                                                   ввод Х0,
                                                   Y0, h, N                                                       составной части алгоритма метода Милна (см. рис.13).
                                                                                                                     Проведем сравнительную оценку рассмотренных методов на простом
                                                     печать
                                                    ‘X Y’                                                         примере, позволяющем получить также и точное решение.
                                                                                                                     Пример: Решить задачу Коши
                                                    печать
                                                    X0, Y0                                                                  dY                                         0 ≤ x ≤1,
                                                                                                                                = 2( x 2 + Y ) ,  Y (0) = 1 ,                    h = 0,1 .
                                                   i := 1, N
                                                                                                                            dx
                                                                                                                     Решение: Сформулированная задача Коши может быть решена известны-
                                             Y := Y0+h*F(X0, Y0)                     Конец
                                     Y0 := Y0+h*(F(X0, Y0)+F(X0+h, Y))/2
                                                                                                                  ми из курса высшей математики методами. Опустив выкладки, запишем
                                                                                                                  окончательное выражение для точного решения с учетом заданного началь-
                                                  X0 := X0+h
                                                                                                                  ного условия. Оно имеет вид:
                                                    печать                                                                                       Y = 1.5e2x - x2 - x - 0.5.
                                                    X0, Y0
                                                                                                                     Проведем теперь решение данной задачи численно с помощью рассмот-
                                                                                                                  ренных выше методов. Результаты вычислений приведены в таблице 1. Как
         Рис.12. Блок-схема модифицированного метода Эйлера.
                                                                                                             43   44