ВУЗ:
Составители:
121
По известной теореме дифференциальной геометрии
произведение кривизны кривой на поверхности на косинус угла
геодезического отклонения равно отношению значений второй и
первой квадратичных форм поверхности на касательном векторе
к кривой [101]. Поэтому имеем
()
22
11 12 22
22
11 12 22
2
1
cos , ,
2
nnnn
n
n
nnnn
b du b du dv b dv
t
k
gdu gdudv g dv
θδ
++
=⋅
++
(3.6)
где
()
2
2
3
,
,
nn
nn
n
dr d r
dt
dt
kkt
dr
dt
δ
==
rr
r
− кривизна геодезической
параллели, а
(
)
11 11
,brm=
rr
,
(
)
12 12
,brm=
rr
,
(
)
22 22
,brm=
rr
−
коэффициенты второй квадратичной формы поверхности,
определение которых записано с помощью нормального
единичного вектора к поверхности
[
]
[]
[]
[
]
12 12 12
2
12
11 22 12
,,,
.
,
rr rr rr
m
rr
gg g
σ
== =
−
rr rr rr
r
rr
(3.7)
Тогда
()
()
2
1
,1
cos ,
n
n
tg t
t
θδ
θδ
=−. (3.8)
Подставляя выражение (3.8) в неравенство (3.5), получим
(
)
,
n
tg t
θ
δµ
≤
,
[]
0
,,
k
ttt∈
,.
22
dd
δ
∈−
(3.9)
Таким образом, неравенство (3.9) позволяет определить
как равновесность ленты для выбранной кривой намотки
многослойной оболочки, так и возможную ширину ленты, при
которой сохраняется равновесность всех ее нитей.
Для рассматриваемой геодезической намотки тангенс угла
θ
геодезического отклонения кривой намотки, являющейся
геодезической линией, равен нулю. Поэтому для кривой намотки
условие равновесия (3.9) автоматически выполняется. Для
равновесности всей ленты это условие должно выполняться
122
для ее каждой нити.
На основе данной модели укладки ленты рассмотрим
равновесность укладки ленты на оправку, имеющей форму
эллиптического параболоида (2.24). Формулы для расчета
коэффициентов первой и второй квадратичной формы для этой
поверхности принимают вид:
(
)
(
)
()
()
()
()
()
2
2222
11
2
22
12
2
22 2
22
sin cos ,
21cossin,
2cossin1,
gazbzcp
gazbzcazbp
gazbp
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
=++ +
=− + + + −
=+ + +
(3.10)
(
)
()
()
()
()
()
()
()
()
2
11
2
22 2 2 2 2
12
22
2
22 2 2 2 2
,
sin cos 2 cos sin 1
0,
2
.
sin cos 2 cos sin 1
az bz c p
b
pazbp
b
ap
b
pazbp
ϕϕ ϕϕ
ϕϕ ϕϕ
−++
=
++ ++
=
=
++ ++
Подставляя полученные выражения (3.10) в (3.6), затем по
формуле (3.8) найдем тангенсы углов
θ
геодезического
отклонения геодезических параллелей. Тем самым определим
равновесность укладки ленты на поверхности эллиптического
параболоида.
Результаты счета выпуклого эллиптического параболоида
показывают (рис. 3.5), что почти во всех точках всех
геодезических параллелей кривой намотки для всех
рассматриваемых случаев геодезической намотки tg
θ
содержат
значения меньше чем 0.3. Таким образом, геодезическая намотка
ленты будет удовлетворять условию равновесности.
Что касается намотки вогнутого эллиптического
параболоида, то при
0
0
30
k
β
=
в большинстве точек значения
(
)
,
n
tg t
θ
δ
превосходят 1, а на крайних геодезических
параллелях наблюдаются большие выбросы (рис. 3.6, б).
Поэтому условие равновесности (3.5) заведомо не будет
выполняться, так как коэффициент трения 1
µ
<
.
По известной теореме дифференциальной геометрии для ее каждой нити.
произведение кривизны кривой на поверхности на косинус угла На основе данной модели укладки ленты рассмотрим
геодезического отклонения равно отношению значений второй и равновесность укладки ленты на оправку, имеющей форму
первой квадратичных форм поверхности на касательном векторе эллиптического параболоида (2.24). Формулы для расчета
к кривой [101]. Поэтому имеем коэффициентов первой и второй квадратичной формы для этой
b du 2 + 2b12 dun dvn + b22 dvn2 1 поверхности принимают вид:
cos θ n ( t , δ ) = 11 2n ⋅ , (3.6)
g11 = ( az 2 + bz + c ) ( p sin ϕ + cos ϕ ) ,
2 2 2 2
g11 dun + 2 g12 dun dvn + g 22 dvn2 kn
r r
drn d 2 rn = − ( az + bz + c ) ( 2az + b ) ( p − 1) cos ϕ sin ϕ ,
2 2 2
, g12 (3.10)
2
dt dt
где kn = kn ( t , δ ) = = ( 2az + b ) ( p cos ϕ + sin ϕ ) + 1,
2
r 3 − кривизна геодезической g 22 2 2 2
drn
− ( az + bz + c ) p 2
dt b11 = ,
r r r r
параллели, а b11 = ( r11 , m ) , b12 = ( r12 , m ) , b22 = ( r22 , m ) −
r r
( p sin ϕ + cos ϕ ) ( ( 2az + b ) ( p cos ϕ + sin ϕ ) + 1)
2 2 2 2 2 2 2
коэффициенты второй квадратичной формы поверхности,
b12 = 0,
определение которых записано с помощью нормального
единичного вектора к поверхности 2ap
r r r r r r b22 = .
r [ r1 , r2 ]
m= r r =
[ r1 , r2 ]
=
[ r1 , r2 ]
. (3.7) (p 2
sin ϕ + cos ϕ ) ( 2az + b )
2 2
( 2
(p 2 2 2
)
cos ϕ + sin ϕ ) + 1
[ r1 , r2 ] g11 g 22 − g12 2 σ
Подставляя полученные выражения (3.10) в (3.6), затем по
Тогда формуле (3.8) найдем тангенсы углов θ геодезического
1 отклонения геодезических параллелей. Тем самым определим
tgθ n ( t , δ ) = −1 . (3.8) равновесность укладки ленты на поверхности эллиптического
cos θ n ( t , δ )
2
параболоида.
Подставляя выражение (3.8) в неравенство (3.5), получим Результаты счета выпуклого эллиптического параболоида
d d показывают (рис. 3.5), что почти во всех точках всех
tgθ n ( t , δ ) ≤ µ , t ∈ [t0 , tk ] , δ ∈ − , . (3.9)
2 2 геодезических параллелей кривой намотки для всех
Таким образом, неравенство (3.9) позволяет определить рассматриваемых случаев геодезической намотки tgθ содержат
как равновесность ленты для выбранной кривой намотки значения меньше чем 0.3. Таким образом, геодезическая намотка
многослойной оболочки, так и возможную ширину ленты, при ленты будет удовлетворять условию равновесности.
которой сохраняется равновесность всех ее нитей. Что касается намотки вогнутого эллиптического
Для рассматриваемой геодезической намотки тангенс угла параболоида, то при β k 0 = 300 в большинстве точек значения
θ геодезического отклонения кривой намотки, являющейся tgθ n ( t , δ ) превосходят 1, а на крайних геодезических
геодезической линией, равен нулю. Поэтому для кривой намотки
условие равновесия (3.9) автоматически выполняется. Для параллелях наблюдаются большие выбросы (рис. 3.6, б).
равновесности всей ленты это условие должно выполняться Поэтому условие равновесности (3.5) заведомо не будет
выполняться, так как коэффициент трения µ < 1 .
121 122
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- …
- следующая ›
- последняя »
