Распространение волн в диспергирующих средах. Аверина Л.И. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
Различие физических механизмов, реализующих волновой процесс, при -
водит к различным способам описания, основанным на сильно отличающихся
друг от друга системах уравнений . Однако для понимания наиболее фундамен -
тальных явлений , свойственных волнам различной природы – интерференции,
дифракции, дисперсии , отражения и преломления, рассеяния и т. д., часто нет
необходимости анализировать исходные сложные системы уравнений . Простые
эффекты , как правило, описываются простыми и поэтому универсальными ма-
тематическими моделями.
1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
В теории волн фундаментальное значение имеет линейное уравнение в
частных производных второго порядка :
0
1
2
2
2
=
∂
∂
−∆
t
U
c
U
(1.1)
Оно называется волновым уравнением . Оператор Лапласа ∆ записывается
либо в декартовых, либо в криволинейных (цилиндрических , сферических и
др.) координатах; с – константа , характеризующая свойства среды .
В присутствии источников или внешних сил процесс возбуждения и рас-
пространения волн описывается неоднородным уравнением :
),(
1
2
2
2
tf
t
U
c
Ur=
∂
∂
−∆ , (1.2)
где f(r,t) – некоторая функция, характеризующая распределённые внешние воз-
действия.
В реальной среде могут происходить необратимые процессы передачи
энергии волны частицам среды (диссипация); скорость распространения волны
может стать функцией частоты (дисперсия). Эти явления должны учитываться
введением в волновое уравнение (1.1) дополнительных линейных членов L(U),
структура которых может быть различной в зависимости от конкретных физи-
ческих механизмов взаимодействия волн со средой :
0)(
1
2
2
2
=−
∂
∂
−∆ UL
t
U
c
U (1.3)
Уравнения (1.1)-(1.3) могут быть записаны как для скалярной переменной
U , так и для векторной U (например, напряжённостей E и H поля электромаг-
нитной волны ). Решение волнового уравнения должно находиться с учётом на -
чальных и граничных условий , отвечающих физической постановке задачи . 
                                                5

      Ра зличиефизических меха низмов, реализую щ их волновой проц есс, при-
водит к различны м способа м описа ния, основа нны м на сильно отлича ю щ ихся
друг от друга система х ура внений. О дна ко для понима нияна иболеефунда мен-
та льны х явлений , свойственны х волна м различной природы – интерференц ии,
дифра кц ии, дисперсии, отраж ения и преломления, рассеяния и т.д., ча сто нет
необходимости а на лизирова тьисходны еслож ны есистемы ура внений . П росты е
эффекты , ка к правило, описы ва ю тся просты ми и поэтому универса льны ми ма -
тема тическими моделями.

                          1. В О Л НО В О ЕУР А В НЕНИ Е

      В теории волн фунда мента льноезна чениеимеет линейноеура внениев
ча стны х производны х второго порядка :

                                       1 ∂ 2U
                            ∆U −                =0          (1.1)
                                   c 2 ∂t 2

      О но на зы ва етсяволновы м у равнени ем . О ператорЛ а пла са ∆ за писы ва ется
либо в дека ртовы х , либо в криволиней ны х (ц илиндрических, сферических и
др.) координа та х; с – конста нта , ха ра ктеризую щ а ясвойства среды .
      В присутствии источников или внеш них сил проц есс возбуж дения и рас-
пространенияволн описы ва етсянеоднородны м ура внением:


                                1 ∂ 2U
                         ∆U −              = f (r , t ) ,      (1.2)
                                c 2 ∂t 2
гдеf(r,t) – некоторая функц ия, ха рактеризую щ а я распределё нны евнеш ниевоз-
действия.
      В реальной средемогут происходить необратимы е проц ессы переда чи
энергии волны ча стиц а м среды (диссипа ц ия); скорость распростра нения волны
мож ет ста ть функц ией ча стоты (дисперсия). Э ти явления долж ны учиты ва ться
введением в волновоеуравнение(1.1) дополнительны х линей ны х членов L(U),
структура которы х мож ет бы ть различной в за висимости от конкретны х физи-
ческих меха низмоввза имодей ствияволн со средой :

                            1 ∂ 2U
                     ∆U −               − L (U ) = 0                (1.3)
                            c 2 ∂t 2

       У равнения(1.1)-(1.3) могутбы тьза писа ны ка к дляска лярной переменной
U, та к и для векторной U (на пример, на пряж ё нностей E и H поля электрома г-
нитной волны ). Реш ениеволнового уравнения долж но на ходитьсяс учё том на -
ча льны х и гра ничны х условий, отвеча ю щ их физической поста новкеза да чи.

Страницы