Распространение волн в диспергирующих средах. Аверина Л.И. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
k называют волновым числом . Если подставить (1.5) в (1.3), то опять
получим для А уравнение (1.6), но k
2
будет более сложно зависеть от частоты и
являться комплексной величиной
[
]
.)(")(')(
2
2
ωωω jkkk +=
Уравнение (1.6) называется уравнением Гельмгольца . Его решение искать
проще, чем (1.1)-(1.3), особенно в том случае, когда скорость распространения
волны
k
v
/
ω
=
зависит от частоты (т.е. существенная дисперсия). Поэтому в
диспергирующих линейных средах возмущения, зависящие от времени слож -
ным образом, представляют в виде совокупности гармонических волн .
Итак, любая задача теории волн сводится к определению поведения в
пространстве и времени величин, характеризующих волновой процесс. Она как
бы делится на два этапа . Вначале необходимо воспользоваться исходной систе-
мой уравнений , описывающих волновое поле в среде, а затем с помощью ряда
упрощений , диктуемых конкретной постановкой задачи , получить волновое
уравнение одного из перечисленных выше типов, а также сформулировать на -
чальные и граничные условия. Второй этап состоит в решении этого уравнения
при заданных начальных и граничных условиях и в физическом анализе полу-
ченных результатов.
2. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ
СРЕДЕ
2.1 Плоские волны
Простейшими решениями волновых уравнений , имеющими весьма боль-
шое значение, являются решения в виде плоских волн . В плоской волне возму-
щение U зависит лишь от расстояния, отсчитываемого вдоль некоторого
фиксированного направления m , и времени, т.е. U=U(ξ,t), где
(
)
zmymxm
zyx
+
+
=
=
mr ,
ξ
Рассмотрим плоские волны в изотропной однородной среде, не учитывая
поглощение, дисперсию и нелинейные эффекты . В такой среде волновой про -
цесс описывается уравнением (1.1), которое приобретает вид :
0
1
2
2
22
2
=
∂
∂
−
∂
∂
t
U
c
U
ξ
(2.1)
Если от переменных ξ и t перейти к переменным:
, и
c
t
c
t
ξ
τ
ξ
η−=+=
то получим уравнение: 0
2
=
∂∂
∂
ητ
U
(2.2) 
                                                7
k на зы ва ю т волновы м ч и слом . Е сли подста вить (1.5) в (1.3), то опять
получим дляА уравнение(1.6), но k2 будетболееслож но за висетьотча стоты и
являтьсякомплексной величиной k 2 (ω ) = [k ' (ω ) + jk " (ω ) ]2 .
      У равнение(1.6) на зы ва етсяу равнени ем Гельм гольца. Е го реш ениеиска ть
прощ е, чем (1.1)-(1.3), особенно в том случа е, когда скорость распространения
волны v = ω / k за висит от ча стоты (т.е. сущ ественна я дисперсия). П оэтому в
диспергирую щ их линей ны х среда х возмущ ения, за висящ иеот времени слож -
ны м образом, предста вляю тввидесовокупности га рмонических волн.
      И та к, лю ба я за да ча теории волн сводится к определению поведения в
пространствеи времени величин, ха рактеризую щ их волновой проц есс. О на ка к
бы делитсяна два эта па . В на ча ленеобходимо воспользова тьсяисходной систе-
мой уравнений , описы ва ю щ их волновоеполев среде, а за тем с помощ ью ряда
упрощ ений, диктуемы х конкретной поста новкой за да чи, получить волновое
ура внениеодного из перечисленны х вы ш етипов, а та кж есформулирова ть на -
ча льны еи гра ничны еусловия. В торой эта п состоитвреш ении этого уравнения
при за да нны х на ча льны х и гра ничны х условиях и в физическом а на лизеполу-
ченны х результа тов.

       2. ПЛ О С КИ Е ВО Л НЫ В О ДНО Р О ДНО Й И ЗО ТР О ПНО Й
                                С Р ЕДЕ

                                     2.1 Плос ки еволны

     П ростейш ими реш ениями волновы х ура внений, имею щ ими весьма боль-
ш оезна чение, являю тся реш ения ввидеплоских волн. В плоской волневозму-
щ ение U за висит лиш ь от расстояния, отсчиты ва емого вдоль некоторого
фиксирова нного на правленияm, и времени, т.е. U=U(ξ,t), где

                                ξ = (r, m ) = m x x + m y y + m z z

       Ра ссмотрим плоскиеволны в изотропной однородной среде, неучиты ва я
поглощ ение, дисперсию и нелиней ны еэффекты . В та кой средеволновой про-
ц есс описы ва етсяуравнением (1.1), котороеприобрета етвид:
                         ∂ 2U       1 ∂ 2U
                                −              =0                             (2.1)
                         ∂ξ 2       c 2 ∂t 2
Е слиотпеременны х ξ и t перейти к переменны м:
                                          ξ               ξ
                                η =t+          и τ =t−      ,
                                          c               c
                                                ∂ 2U
то получим ура внение:                               =0               (2.2)
                                                ∂τ∂η

Страницы