Распространение волн в диспергирующих средах. Аверина Л.И. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
Его решение имеет вид:
(
)
(
)
(
)
(
)
ctUctUUUtU //),(
2121
ξ
ξ
η
τ
ξ
+
+
−
=
+
=
. Здесь
21
, UU - произвольные функции.
Рассмотрим функцию
1
U . В любой фиксированный момент времени она
имеет постоянное значение в плоскости, определяемой соотношением
(
)
Const
=
=
mr ,
ξ
. Эта плоскость, на которой фаза волны постоянна , называется
волновым фронтом . Он перемещается в пространстве со скоростью с вдоль на -
правления m . Эта скорость называется фазовой. Она связана с волновым чис-
лом следующим соотношением :
k
v
ф
Re
ω
=
Таким образом ,
1
U описывает плоскую волну, бегущую в направлении
m . Очевидно, что функция
2
U описывает волну, бегущую в противоположном
направлении – m .
Плоские волны , описываемые произвольными функциями
21
, UU , час-
то удобно рассматривать как суперпозицию гармонических волн . Тогда
(
)
(
)
tjjkAtU
ξ
ξ
−
±
=
exp,
2,12,1
Фазу гармонической плоской волны можно записать в виде:
mkkr kttzmymxmk
zyx
=
−
=
−
+
+
,)(
ω
ω
Уравнение
Const
=
kr
определяет плоскость равной фазы . Если k –
действительное число , то амплитуды волн постоянны всюду, в том числе и в
плоскости равной фазы .
2.2 Уравнения Максвелла в комплексной форме
Как известно, исходной системой уравнений для определения электро -
магнитного поля в среде являются уравнения Максвелла :
0
4
1
41
=
=
∂
∂
−=
+
∂
∂
=
B
D
B
E
j
D
H
div
div
tc
rot
ctc
rot
πρ
π
(2.3)
Здесь j и ρ - плотности токов и электрических зарядов в среде, появление кото -
рых вызвано электромагнитным полем . E и H – напряжённости электрического 
                                                 8

Е го реш ениеимеетвид: U (ξ , t ) = U1 (τ ) + U 2 (η ) = U1 (t − ξ / c) + U 2 (t + ξ / c ) . Здесь
U 1 , U 2 - произвольны ефункц ии.
        Ра ссмотрим функц ию U1 . В лю бой фиксирова нны й моментвремени она
имеет постоянное зна чение в плоскости, определяемой соотнош ением
ξ = (r, m ) = Const . Э та плоскость, на которой фа за волны постоянна , на зы ва ется
волновы м фронтом . О н перемещ а ется впространствесо скоростью с вдольна -
пра вления m. Э та скорость на зы ва ется фазовой. О на связа на с волновы м чис-
лом следую щ им соотнош ением:

                                    ω
                                    vф =
                                  Re k
        Т а ким образом, U1 описы ва ет плоскую волну, бегущ ую в на пра влении
m. О чевидно, что функц ия U 2 описы ва ет волну, бегущ ую в противополож ном
на правлении– m.
       П лоскиеволны , описы ва емы епроизвольны ми функц иями U1 , U 2 , ча с-
то удобно ра ссма трива тька к суперпозиц ию га рмонических волн. Т огда

                                  U1, 2 (ξ , t ) = A1,2 exp(± jkξ − jωt )

Ф а зуга рмонической плоской волны мож но за писа тьввиде:
                      k ( m x x + m y y + m z z ) − ωt = kr − ωt ,   k = km
У равнение kr = Const определяет плоскость ра вной фа зы . Е сли k –
действительноечисло, то а мплитуды волн постоянны всю ду, в том числеи в
плоскости равной фа зы .

                2.2 Ур авне
                          ни я М акс ве
                                      лла в компле
                                                 кс нойфор ме

      К а к известно, исходной системой уравнений для определения электро-
ма гнитного полявсредеявляю тсяура вненияМ а ксвелла :

                                   1 ∂D 4π
                            rotH =        +   j
                                   c ∂t     c
                                     1 ∂B
                            rotE = −                                    (2.3)
                                     c ∂t
                            divD = 4πρ
                            divB = 0
Здесьj и ρ - плотности токов и электрических за рядов всреде, появлениекото-
ры х вы зва но электрома гнитны м полем. E и H – на пряж ё нности электрического

Страницы