Распространение волн в диспергирующих средах. Аверина Л.И. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Уравнениями (1.1)-(1.3) описываются волны в однородных изотропных
средах. Задачи , связанные с распространением волн в линейных диспергирую -
щих и недиспергирующих средах, с определением поля по заданным источни-
кам, с отражением и преломлением волн на границах раздела однородных сред ,
с распространением волн в волноводах, длинных линиях , других направляю -
щих системах и т.д., сводятся к решению одного из этих уравнений с соответст-
вующими граничными условиями.
Если среда анизотропна , то процесс распространения волн может описы -
ваться гиперболическими уравнениями не второго , а более высокого порядка ,
которые приводятся к уравнениям второго порядка только при специальных
предположениях о характере протекания волнового процесса в анизотропной
среде. Такого типа задачи встречаются при исследовании распространения све-
товых волн в кристаллах, электромагнитных волн в плазме или феррите, нахо-
дящихся в магнитном поле и т. д.
Если среда неоднородна , т.е. её свойства зависят от координат, то в урав-
нении , описывающем волновой процесс, с уже будет не константой , а функцией
координат c(x,y,z). Волновым уравнением такого типа описываются процессы
распространения электромагнитных волн в тропосфере и ионосфере.
При возбуждении в среде сильных полей уравнения, описывающие про -
цесс распространения возмущений , уже нельзя свести к линейным волновым
уравнениям . С учётом нелинейных членов они приобретают вид :
...)()()(
1
3
3
2
21
2
2
2
+++=
∂
∂
−∆ ULULUL
t
U
c
U , (1.4)
где L
1
, L
2
, L
3
– некоторые линейные операторы . Сохранение этих членов в урав-
нении позволяет описать различные нелинейные эффекты при распространении
волн в среде. В нелинейных задачах нарушается принцип суперпозиции : возни-
кает взаимодействие волн различных частот. При этом характер протекания
волновых взаимодействий существенно зависит от соотношения дисперсион -
ных и нелинейных свойств процесса .
Большое значение в теории волн имеют гармонические волны . Функция
U(x,y,z,t), описывающая гармоническую волну, может быть представлена в ви-
де:
[
]
tjtj
ezyxAezyxAtzyxU
ωω −
+= ),,(),,(
2
1
),,,(
*
&
, (1.5)
где А – комплексная величина . Подставляя (1.5) в (1.1), получим для определе-
ния функции A(x,y,z):
2222
/ где ,0 ckAkA ω ==+∆
(1.6) 
                                                        6

       У равнениями (1.1)-(1.3) описы ва ю тся волны в однородны х изотропны х
среда х. За да чи, связа нны ес ра спространением волн в линейны х диспергирую -
щ их и недиспергирую щ их среда х , с определением поля по за да нны м источни-
ка м, с отраж ением и преломлением волн на гра ниц а х раздела однородны х сред,
с распространением волн в волновода х, длинны х линиях, других на пра вляю -
щ их система х и т.д., сводятсяк реш ению одного из этих ура внений с соответст-
вую щ ими граничны ми условиями.
       Е сли среда а низотропна , то проц есс распространения волн мож етописы -
ва ться гиперболическими ура внениями невторого, а болеевы сокого порядка ,
которы еприводятся к ура внениям второго порядка только при спец иа льны х
предполож ениях о ха рактерепротека ния волнового проц есса в а низотропной
среде. Т а кого типа за дачи встреча ю тсяпри исследова нии распростра нения све-
товы х волн в криста лла х, электрома гнитны х волн в пла змеили феррите, на хо-
дящ ихсявма гнитном полеит.д.
       Е сли среда неоднородна , т.е. её свойства за висятоткоордина т, то в ура в-
нении, описы ва ю щ ем волновой проц есс, с уж ебудетнеконста нтой , а функц ией
координа т c(x,y,z). В олновы м уравнением та кого типа описы ва ю тся проц ессы
ра спростра ненияэлектрома гнитны х волн втропосфереи ионосфере.
       П ри возбуж дении в средесильны х полей уравнения, описы ва ю щ иепро-
ц есс ра спространения возмущ ений , уж енельзя свести к линей ны м волновы м
ура внениям. С учё том нелиней ны х членовони приобрета ю твид:


                     1 ∂ 2U
            ∆U −                     = L1 (U ) + L 2 (U 2 ) + L3 (U 3 ) + ... ,       (1.4)
                    c   2
                            ∂t   2

гдеL1 , L2, L3 – некоторы елиней ны еопера торы . Сохранениеэтих членоввура в-
нении позволяетописа тьразличны енелиней ны еэффекты при распространении
волн всреде. В нелиней ны х за да ча х на руш а етсяпринц ип суперпозиц ии: возни-
ка ет вза имодействие волн различны х ча стот. П ри этом ха ра ктер протека ния
волновы х вза имодействий сущ ественно за висит от соотнош ения дисперсион-
ны х и нелиней ны х свойствпроц есса .
       Больш оезна чениев теории волн имею т га рмоническиеволны . Ф ункц ия
U(x,y,z,t), описы ва ю щ а я га рмоническую волну, мож ет бы ть предста влена в ви-
де:
           U ( x , y, z , t ) =
                                     2
                                       [
                                     1 &
                                       A( x, y , z)e jωt + A* ( x, y, z )e − jωt ,]   (1.5)

гдеА – комплексна явеличина . П одста вляя (1.5) в (1.1), получим дляопределе-
нияфункц ии A(x,y,z):


                                 ∆A + k 2 A = 0, где k 2 = ω 2 / c 2                  (1.6)

Страницы