Распространение волн в диспергирующих средах. Аверина Л.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
диэлектриком , либо проводником . В идеальном диэлектрике σ=00, в
идеальном проводнике
∞
→
σ
.
В систему уравнений Максвелла входят частные производные по четырём
аргументам: x, y, z, t. Процедура решения упростится, если из уравнений удаст-
ся исключить t . Этого легко добиться, если рассматриваемый электромагнит-
ный процесс протекает во времени по гармоническому закону с некоторой
постоянной частотой ω. Такие процессы часто встречаются на практике.
Тогда вектор какого - либо поля, например Е , в некоторой заданной точке
пространства записывается:
(
)
(
)
(
)
kjiE
zzyyxx
tEtEtEt
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
+
+
+
+
+
=
coscoscos)(
zyx
EEE , , - амплитуды отдельных составляющих поля;
zyx
ϕ
ϕ
ϕ
, , - соответст-
вующие начальные фазы . Или
(
)
[
]
[
]
tjtjj
z
j
y
j
x
eeeEeEeEt
z
y
x
ωωϕ
ϕ
ϕ
EkjiE
&
ReRe)( =++=
Вектор
E
&
принято называть комплексной амплитудой поля Е в заданной точке
пространства .
Комплексные амплитуды легко ввести в уравнения Максвелла , полагая,
что величины HE
&&
, зависят только от пространственных координат. Возьмём,
например, первое уравнение и подставим в него соответствующие векторные
поля, выраженные через комплексные амплитуды . Получим :
(
)
(
)
(
)
tjtjtj
e
e
t
erot
ωωω
πσ
+
∂
∂
= EDH
&&&
Re
4
Re
1
Re
Изменяя порядок следования дифференциальных операций и операций взятия
действительной части, а затем сокращая на общий экспоненциальный множи-
тель, получим :
EDH
&&&
j
rot
πσ
+
ω
=
4
Аналогично преобразовав остальные уравнения, получим уравнения Максвелла
в комплексной форме:
HB
ED
HB
ED
H
E
B
E
EEHE
D
H
&&
&&
&&
&&
&
&
&
&
&&&&
&
&
µ
ε
ε
πρ
πρ
ωµω
ε
ω
ω
πσ
ε
ω
σ
πω
=
=
==
==
−=−=
=
−=+=
0 0
4
или 4
4
4
к
divdiv
divdiv
c
j
rot
c
j
rot
c
jj
c
j
rot
cc
j
rot
                                                         10
диэлектриком, либо проводником. В идеальном               диэлектрике σ=00   ,    в
идеальном проводникеσ → ∞ .
      В систему уравнений М а ксвелла входятча стны епроизводны епо четы рём
а ргумента м: x, y, z, t. П роц едура реш енияупростится, если из уравнений уда ст-
ся исклю чить t. Э того легко добиться, если рассма трива емы й электрома гнит-
ны й проц есс протека ет во времени по га рмоническому за кону с некоторой
постоянной ча стотой ω. Т а киепроц ессы ча сто встреча ю тсяна практике.
     Т огда векторка кого-либо поля, на примерЕ , в некоторой за да нной точке
пространства за писы ва ется:
                                                  (               )
      E (t ) = E x cos(ωt + ϕ x )i + E y cos ωt + ϕ y j + E z cos(ωt + ϕ z )k
E x , E y , E z - а мплитуды отдельны х соста вляю щ их поля; ϕ x , ϕ y , ϕ z - соответст-
вую щ иена ча льны ефа зы . И ли
                           [(
               E (t ) = Re E x e jϕ x i + E y e
                                                  jϕ y
                                                                          ) ] [
                                                         j + E z e jϕ z k e jωt = Re E& e jωt   ]
В екторE& принято на зы ва тькомплексной а мплитудой поляЕ вза да нной точке
пространства .
      К омплексны еа мплитуды легко ввести в уравнения М а ксвелла , пола га я,
что величины E& , H& за висят только от пространственны х координа т. В озьмё м,
на пример, первоеура внениеи подста вим в него соответствую щ иевекторны е
поля, вы раж енны ечерез комплексны еа мплитуды . П олучим:

                    rot Re H& e (
                                jωt
                                    =   )
                                      1 ∂
                                      c ∂t
                                           Re D& e
                                                   jω t
                                                        +
                                                          4 πσ
                                                            c
                                                              (Re E& e)jω t
                                                                                      (             )
И зменяя порядок следова ния дифференц иа льны х опера ц ий и операц ий взятия
действительной ча сти, а за тем сокращ а я на общ ий экспоненц иа льны й множ и-
тель, получим:
                                             jω & 4πσ &
                                     rotH& =    D+   E
                                              c    c
А на логично преобра зова воста льны еуравнения, получим ура вненияМ а ксвелла
вкомплексной форме:
              jωD& 4π &                             jω      j 4πσ  & jω &
     rotH& =       +   σE                 rotH& =       ε −       E =   ε кE
               c     c                               c        ω       c
               jωB&                                 jωµH&
     rotE& = −                           rotE& = −
                 c                                     c
                                                 4πρ
     divD& = 4πρ           или           divE& =
                                                   ε
     divB& = 0                          divH& = 0
     D& = εE&
    B& = µH&

Страницы