Распространение волн в диспергирующих средах. Аверина Л.И. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
2.3 Плоские электромагнитные волны
Одним из частных решений уравнений Максвелла являются однородные
плоские волны .
Рассмотрим бесконечное трёхмерное пространство с заданными парамет -
рами ε, µ, σ, одинаковыми во всех точках. Предположим , что свободные элек -
трические заряды отсутствуют, т.е. ρ=0. Электромагнитный процесс,
гармонически изменяющийся во времени с частотой ω , характеризуется ком -
плексными амплитудами полей
HE
&&
,
, которые удовлетворяют системе уравне-
ний Максвелла :
0
0
к
=
=
−==
HE
H
EEH
&&
&
&&&
div
div
c
j
rot
c
j
rot
ωµ
ε
ω
Преобразуем эту систему к волновому уравнению . Для этого возьмём rot от
второго уравнения:
EHE
&&&
2
2
c
rot
c
j
rotrot
к
µεω
ωµ
=−=
С другой стороны , мы знаем , что EEEE
&&&&
∆−=∆−= divgradrotrot . Получим :
0
2
2
=+∆ EE
&&
c
к
µεω
Обозначим :
к
c
k µε
ω
=
- волновое число.
Решение данной системы относительно трёх неизвестных функций
zyx
EEE
&&&
, , , каждая из которых зависит от трёх координат x, y, z, описывает в
общем случае поле с весьма сложной пространственной конфигурацией . Вве-
дём некоторые упрощения. Пусть 1) 0 ,0 ==≠
zyx
EEE
&&&
; 2) отличная от нуля
проекция
x
E
&
зависит лишь от координаты z , т.е.
0=
∂
∂
=
∂
∂
yx
. Тогда система
сводится к уравнению :
0
2
2
2
=+
x
x
Ek
Ed
&
&
Решение этого уравнения имеет вид :
(
)
jkzjkz
x
eBeAzE
&&&
+=
−
, 
                                                11


                      2.3 Плос ки еэле
                                     ктр омагни тныеволны

      О дним из ча стны х реш ений уравнений М а ксвелла являю тся однородны е
плоскиеволны .
      Ра ссмотрим бесконечноетрёхмерноепространство с за да нны ми па рамет-
ра ми ε, µ, σ, одина ковы ми во всех точка х. П редполож им, что свободны еэлек-
трические за ряды отсутствую т, т.е. ρ=0. Э лектрома гнитны й проц есс,
га рмонически изменяю щ ийся во времени с ча стотой ω, ха рактеризуется ком-
плексны ми а мплитуда ми полей E& , H& , которы еудовлетворяю т системеуравне-
ний М а ксвелла :

                jω &                                             jωµH&
       rotH& =     ε кE                            rotE& = −
                 c                                                 c
       divE& = 0                                 divH& = 0

П реобразуем эту систему к волновому ура внению . Д ля этого возьмё м rot от
второго уравнения:

                                  &     jωµ    &   ω 2 µε к &
                           rot rotE = −     rotH =          E
                                         c           c2

С другой стороны , мы зна ем, что rot rotE& = grad divE& − ∆E& = − ∆E& . П олучим:

                                            ω 2 µε к &
                                    ∆E& +            E=0
                                              c2

                          ω
О бозна чим: k =               µε к - волновоечисло.
                           c
          Реш ение да нной системы относительно трё х неизвестны х функц ий
E& x , E& y , E& z , ка ж да я из которы х за висит от трёх координа т x, y, z, описы ва ет в
общ ем случа еполес весьма слож ной пространственной конфигурац ией. В ве-
дё м некоторы еупрощ ения. П усть 1) E& x ≠ 0, E& y = E& z = 0 ; 2) отлична я от нуля
проекц ия E& x за висит лиш ь от координа ты z, т.е. ∂ = ∂ = 0 . Т огда система
                                                                       ∂x ∂y
сводитсяк ура внению :
                                               d 2 E& x
                                                    2
                                                        + k 2 E& x = 0
                                                dz

      Реш ениеэтого ура вненияимеетвид:

                                     E& x ( z ) = A& e − jkz + B& e jkz ,

Страницы