Дискретная математика. Азарнова Т.В - 29 стр.

                                    29
Комбинаторика
                       Ank =n(n −1)(n −2)Κ (n −k +1), k >0,              (1)

т.е. число размещений из n элементов по k элементов равно
произведению k последовательных натуральных чисел от n до n −k +1
включительно.
      Формулу (1) удобно записывать в другом виде. Умножив и разделив
произведение, стоящее в правой части формулы (1), на (n −k )! , получим:
                              n(n −1)(n −2 )Κ (n −k +1)(n −k )!
                       Ank =
                                           (n −k )
или
                                    n!
                           Ank =                                         (2)
                                 (n −k )!
     Формула (1) была получена в предположении, что k >0 , формулой (2)
можно пользоваться и при k =0 , так как она и в этом случае дает
правильный результат, а именно
                                     n!      n!
                            An0 =         = =1.
                                  (n −0)! n !
При выводе формулы (1) предполагалось также, что n ≠0 , т.е. что данное
множество имеет хотя бы один элемент. Если n =0 , то это означает, что
рассматривается пустое множество, а так как пустое множество имеет только
одно подмножество (само себя), то A00 =1 .

     Задача 5. В седьмом классе изучается 14 предметов. Сколькими
способами можно составить расписание занятий на субботу, если в этот день
недели должно быть 5 различных уроков?
     Решение. Различных способов составления расписания, очевидно,
столько, сколько существует пятиэлементных упорядоченных подмножеств у
четырнадцатиэлементного множества.
     Следовательно, число способов равно числу размещений из 14
                             5
элементов по 5, т.е. равно A14  . По формуле (1), полагая в ней n =14, k =5
находим
                         5
                        A14 =14 ⋅13 ⋅12 ⋅11 ⋅10 =240240.
Аналогичный результат получим, воспользовавшись формулой (2):
                         5        14 !   14 !
                        A14 =          =      =10 ⋅11 ⋅12 ⋅13 ⋅14
                               (14 −5)! 9!
      Размещением с повторением называются упорядоченные выборки
из n элементов с повторением и вычисляются по формуле
                                 Anr =n r .