Дискретная математика. Азарнова Т.В - 30 стр.

                                   30
Комбинаторика


2. Перестановки.
       Размещения из n элементов по n элементов называются
перестановками из n элементов.
       Перестановки являются частным случаем размещения. Так как каждая
перестановка содержит все n элементов множества, то различные
перестановки отличаются только порядком элементов. Число перестановок
из n элементов обозначают через Pn . P -первая буква французского слова
permutatuon – перестановка.
       В общем случае число перестановок из n элементов Pn = Ann , и,
следовательно, его можно найти по формуле (1) или по формуле (2), положив
в каждой из них k =n .
       Действительно, формула (2) дает
                                          n!    n!
                            Pn = Ann =         = =n !,                 (3)
                                       (n −n )! 0!
из формулы (1) находим
                  Pn = Ann =n(n −1)(n −2 )Κ (n −n +1) =n ! .
Итак, число перестановок из n элементов равно n ! . (Множество,
состоящее из n элементов, можно упорядочить n ! способами.

       Задача 6. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно
составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не
повторяются?
        Решение. Для того, чтобы число, составленное из заданных цифр,
делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем
месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в
любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел,
кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е.
5! =5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 =120.

      Задача 7. Найти n , если
                            Pn+5
                                  =240 Ank++33 , k ≤n.
                            Pn −k
      Решение. Применяя формулу для числа перестановок и формулу (2)
для числа размещений, перепишем данное уравнение следующим образом:
                         (n +5)!              (n +3)!
                                  =240                 .
                         (n −k )!       (n +3 −k −3)!
Полученное уравнение равносильно квадратному уравнению
                               (n +5)(n +4) =240.