Дискретная математика. Азарнова Т.В - 3 стр.

UptoLike

Теория множеств
3
Теория множеств
§1. Элементы теории множеств
Под множеством понимается совокупность некоторых объектов
(элементов), объединенных некоторым признаком. Множества обычно
обозначают большими буквами алфавита
Ζ
ΖΖ
ΖΥ
ΥΥ
ΥΧ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
,,,,,
. Элементы,
входящие в множество обозначаются малыми буквами
ω
,,,,, zyxba
. Запись
Χ
ΧΧ
Χ
x
означает, что
x
является элементом множества
Χ
ΧΧ
Χ
, а запись
Χ
ΧΧ
Χ
x
означает, что
x
не принадлежит множеству
Χ
ΧΧ
Χ
. Два множества
считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Для описания множества пользуются двумя способами. Первый способ
состоит в простом перечислении его элементов. Так, запись
{}
510
,,
=
Α
ΑΑ
Α
означает, что множество
Α
ΑΑ
Α
состоит из трех чисел 0,1 и 5. Второй способ
состоит в определении множества с помощью некоторого свойства P,
позволяющего определить, принадлежит ли данный элемент данному
множеству или нет. В этом случае используется коллективизирующее
обозначение
{}
)(:
xPx
=
Α
ΑΑ
Α
,
которое читается следующим образом: множество
Α
ΑΑ
Α
состоит из всех
элементов
x
, для которых
)(xP
истинно. Если свойство P относится к
элементам некоторого множества
Χ
ΧΧ
Χ
, то будем писать также
{
}
)(:
xPx
Χ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
Α
=
. Например, множество
{}
54321
,,,,
можно задать следующим
образом:
{}
[
]
{}
5154321
,:,,,,
интервалаизчислоцелоеxx
=
.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством
и обозначается
.
Знаком
обозначим отношение включения между множествами, т.е.
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
, если каждый элемент множества
Α
ΑΑ
Α
есть элемент множества
Β
ΒΒ
Β
. Если
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
, то говорят, что множество
Α
ΑΑ
Α
есть подмножество множества
Β
ΒΒ
Β
.
Равенство двух множеств
Α
ΑΑ
Α
и
Β
ΒΒ
Β
означает выполнение двух
включений:
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
и
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
Β
.
Если
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
и
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
, то говорят, что
Α
ΑΑ
Α
есть собственное
подмножество
Β
ΒΒ
Β
и пишут
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
.
Множество всех подмножеств множества
Α
ΑΑ
Α
называется множеством-
степенью и обозначается
()
Α
ΑΑ
ΑΡ
ΡΡ
Ρ
.
Заметим, что: a)
Χ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
Χ
; б) если
Ζ
ΖΖ
ΖΥ
ΥΥ
ΥΥ
ΥΥ
ΥΧ
ΧΧ
Χ
,
, то
Ζ
ΖΖ
ΖΧ
ΧΧ
Χ
; в) если
Χ
ΧΧ
ΧΥ
ΥΥ
ΥΥ
ΥΥ
ΥΧ
ΧΧ
Χ
,
, то
Υ
ΥΥ
ΥΧ
ΧΧ
Χ
=
.
Не надо смешивать отношения принадлежности и включения. Хотя
{} {} {}{}
11,11
, не верно, что
{}{}
11
, так как единственным элементом
множества
{}{}
1 является
{
}
1 .
Пустое множество есть подмножество любого множества.