Дискретная математика. Азарнова Т.В - 3 стр.

                                     3
Теория множеств
                             Теория множеств

                     §1. Элементы теории множеств

       Под множеством понимается совокупность некоторых объектов
(элементов), объединенных некоторым признаком. Множества обычно
обозначают большими буквами алфавита Α , Β , Χ , Υ , Ζ , Ω . Элементы,
входящие в множество обозначаются малыми буквами a , b, x, y , z , ω . Запись
 x ∈Χ означает, что x является элементом множества Χ , а запись
 x ∉Χ означает, что x не принадлежит множеству Χ . Два множества
считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
       Для описания множества пользуются двумя способами. Первый способ
состоит в простом перечислении его элементов. Так, запись Α ={0,1,5}
означает, что множество Α состоит из трех чисел 0,1 и 5. Второй способ
состоит в определении множества с помощью некоторого свойства P,
позволяющего определить, принадлежит ли данный элемент данному
множеству или нет. В этом случае используется коллективизирующее
обозначение
                                   Α ={x : P( x )},
которое читается следующим образом: множество Α состоит из всех
элементов x , для которых P(x ) истинно. Если свойство P относится к
элементам некоторого множества Χ , то будем писать также
Α ={x ∈Χ : P( x )}. Например, множество {1,2,3,4,5} можно задать следующим
образом:
            {1,2,3,4,5}={x : x −целое число из интервала [1,5]}.
       Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством
и обозначается ∅ .
       Знаком ⊆ обозначим отношение включения между множествами, т.е.
Α ⊆ Β , если каждый элемент множества Α есть элемент множества Β . Если
Α ⊆ Β , то говорят, что множество Α есть подмножество множества Β .
       Равенство двух множеств Α и Β означает выполнение двух
включений: Α ⊆ Β и Β ⊆ Α .
       Если Α ⊆ Β и Α ≠Β , то говорят, что Α есть собственное
подмножество Β и пишут Α ⊂ Β .
       Множество всех подмножеств множества Α называется множеством-
степенью и обозначается Ρ (Α ).
       Заметим, что: a) Χ ⊆ Χ ; б) если Χ ⊆Υ , Υ ⊆ Ζ , то Χ ⊆ Ζ ; в) если
Χ ⊆Υ , Υ ⊆ Χ , то Χ =Υ .
       Не надо смешивать отношения принадлежности и включения. Хотя
1 ∈{}
    1 , {}
         1 ∈{{} 1 }, не верно, что 1∈{{}1 }, так как единственным элементом
множества {{} 1 } является {}1.
       Пустое множество есть подмножество любого множества.