Дискретная математика. Азарнова Т.В - 5 стр.

UptoLike

Теория множеств
5
Операции над множествами имеют следующие приоритеты в порядке
убывания: операция взятия дополнения, операция пересечения, операция
объединения.
Отметим следующие основные законы для операций над множествами:
1.
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
( коммутативность объединения);
2.
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
(коммутативность пересечения);
3.
()()
Μ
ΜΜ
ΜΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΜ
ΜΜ
ΜΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
(ассоциативность объединения);
4.
()()
Μ
ΜΜ
ΜΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΜ
ΜΜ
ΜΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
(ассоциативность пересечения);
5.
()()()
Μ
ΜΜ
ΜΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΜ
ΜΜ
ΜΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
(1-й закон дистрибутивности);
6.
()()()
Μ
ΜΜ
ΜΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΜ
ΜΜ
ΜΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
(2-й закон дистрибутивности);
7.
Α
ΑΑ
ΑΑ
ΑΑ
Α
=
;
8.
UU =
Α
ΑΑ
Α
;
9.
=
Α
ΑΑ
Α
;
10.
Α
ΑΑ
ΑΑ
ΑΑ
Α
=U
;
11.
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
( закон де Моргана);
12.
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
( закон де Моргана);
13.
()
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΑ
ΑΑ
Α
=
(закон поглощения);
14.
()
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΑ
ΑΑ
Α
=
(закон поглощения).
Рассмотрим методику решения задач по данной теме.
Задача 1
. Равны ли следующие множества:
1)
{}
5,4,2 и
{}
2,5,4,2;
2)
{}
2,1 и
{}{}
2,1
;
3)
{}
3,2,1 и
{}{ }{}{}
3,2,1 ;
4)
{}{}
3,2,1 и
{}{ }{}
3,2,1 .
Решение. Для доказательства равенства произвольных множеств нужно
проверить, что первое множество включено во второе, а второе, в свою
очередь, включено в первое, т.е. любой элемент первого множества является
элементом второго множества, а любой элемент второго множества является
элементом первого множества.
Проверка дает положительный результат для множеств из пункта 1).
Это можно наглядно показать на следующей схеме, где стрелочка, идущая от
элемента, показывает, какой элемент в другом множестве ему соответствует.
{}
5,4,2
{}
2,5,4,2
{}
2,5,4,2
{}
5,4,2