Дискретная математика. Азарнова Т.В - 7 стр.

UptoLike

Теория множеств
7
Решение. Для доказательства равенства 1) докажем два включения:
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
\
,
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
\
.
Доказательство первого включения проведем по схеме
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Α
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Α
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
x
x
x
x
x
x
\,
а доказательство второго включения по схеме
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Α
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Α
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
\
x
x
x
x
x
x
.
Заметим, что в данном примере мы могли рассмотреть не две схемы, а
одну, но вместо знака следствия использовать знак равносильности
.
Тождество 2 можно также доказать с помощью двух включений, но
можно и не использовать данную схему, а опираться на уже доказанное
тождество 1) и на основные законы 1-14. Мы приведем данный способ
доказательства, причем вверху над равенствами будем писать либо 1) – это
означает, что используется тождество 1), либо номер используемого
основного закона. Итак,
()
()
()
()
Κ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΚ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΚ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
==
)5)1
\.
Аналогично можно доказать равенства 3),4),5). Для равенства 4)
приведем еще один способ доказательствадоказательство от противного.
Предположим противное, что множество
()
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
Β
/
не пусто, т.е.
существует хотя бы один элемент
()
Β
ΒΒ
Β
Α
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Β
ΒΒ
Β
Α
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
Β
x
x
x
x
x
x
x
x
x
\
\.
Никакой элемент
x
не может одновременно принадлежать и самому
множеству и его дополнению, поэтому мы пришли к противоречию.
Задача 5
. Пусть
Κ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
,,- такие множества, что
Κ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
Β
. Найдите
множество
Χ
ΧΧ
Χ
, удовлетворяющее системе уравнений
=
=
Κ
ΚΚ
ΚΧ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
Α
.
Решение. Из первого уравнения следует, что
Χ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
Β
, поэтому
Χ
ΧΧ
Χ
можно представить в виде
Χ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
Χ
=
, где
=
Β
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
Χ
. Из равенств
=
==
Β
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
Α
,,
следует, что
=
Χ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
Α
.
Итак, нам осталось найти множество
Χ
ΧΧ
Χ
. Заменим
Χ
ΧΧ
Χ
во втором
уравнении на
Χ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
Χ
=
. Получим
()
Κ
ΚΚ
ΚΧ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
. По ассоциативному
закону
()
Κ
ΚΚ
ΚΧ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
. Из включения
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
Β
следует, что
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
,
поэтому получаем равносильное уравнение
Κ
ΚΚ
ΚΧ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
Α
=
. Два факта