Дискретная математика. Азарнова Т.В - 7 стр.

                                   7
Теория множеств
      Решение. Для доказательства равенства 1) докажем два включения:
                                Α \ Β ⊆Α ∩ Β ,
                                Α ∩ Β ⊆Α \ Β .
Доказательство первого включения проведем по схеме
            x ∈Α     x ∈Α
x ∈Α \ Β ⇒         ⇒        ⇒ x ∈Α ∩ Β ,
            x ∉  Β   x ∈ Β
а доказательство второго включения по схеме
             x ∈Α     x ∈Α
x ∈Α ∩ Β ⇒          ⇒        ⇒ x ∈Α \ Β .
              x ∈ Β   x ∉  Β
      Заметим, что в данном примере мы могли рассмотреть не две схемы, а
одну, но вместо знака следствия использовать знак равносильности ⇔ .
      Тождество 2 можно также доказать с помощью двух включений, но
можно и не использовать данную схему, а опираться на уже доказанное
тождество 1) и на основные законы 1-14. Мы приведем данный способ
доказательства, причем вверху над равенствами будем писать либо 1) – это
означает, что используется тождество 1), либо номер используемого
основного закона. Итак,
                               (       )            (     )
             Α ∪ (Β \ Κ ) =1) Α ∪ Β ∩ Κ =5) (Α ∪ Β )∩ Α ∪ Κ .
      Аналогично можно доказать равенства 3),4),5). Для равенства 4)
приведем еще один способ доказательства – доказательство от противного.
Предположим противное, что множество Β ∩ (Α / Β ) не пусто, т.е.
существует хотя бы один элемент
                                            x ∈Β     x ∈Β
                                x ∈Β                
              x ∈Β ∩ (Α \ Β ) ⇒          ⇒ x ∈Α ⇒ x ∈Α .
                                x ∈Α \ Β   x ∉Β    
                                                    x ∈Β
Никакой элемент x не может одновременно принадлежать и самому
множеству и его дополнению, поэтому мы пришли к противоречию.

     Задача 5. Пусть Α , Β , Κ - такие множества, что Β ⊆ Α ⊆ Κ . Найдите
множество Χ , удовлетворяющее системе уравнений
                                Α ∩ Χ =Β
                                          .
                                Α ∪ Χ =Κ
     Решение. Из первого уравнения следует, что Β ⊆ Χ , поэтому Χ
можно представить в виде Χ =Β ∪ Χ ′ , где Χ ′ ∩ Β =∅ . Из равенств
                  Α ∩ Χ =Β , Χ =Β ∪ Χ ′, Χ ′ ∩ Β =∅
следует, что Α ∩ Χ ′ =∅ .
     Итак, нам осталось найти множество Χ ′ . Заменим Χ во втором
уравнении на Χ =Β ∪ Χ ′ . Получим Α ∪ (Β ∪ Χ ′ ) =Κ . По ассоциативному
закону (Α ∪ Β )∪ Χ ′ =Κ . Из включения Β ⊆ Α следует, что Α ∪ Β =Α ,
поэтому получаем равносильное уравнение Α ∪ Χ ′ =Κ .           Два факта