Дискретная математика. Азарнова Т.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Теория множеств
7
Решение. Для доказательства равенства 1) докажем два включения:
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
∩⊆
\
,
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
\
⊆∩
.
Доказательство первого включения проведем по схеме
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Α
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Α
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
∩∈⇒
∈
∈
⇒
∉
∈
⇒∈ x
x
x
x
x
x
\,
а доказательство второго включения по схеме
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Α
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Α
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
\
∈⇒
∉
∈
⇒
∈
∈
⇒∩∈
x
x
x
x
x
x
.
Заметим, что в данном примере мы могли рассмотреть не две схемы, а
одну, но вместо знака следствия использовать знак равносильности
⇔
.
Тождество 2 можно также доказать с помощью двух включений, но
можно и не использовать данную схему, а опираться на уже доказанное
тождество 1) и на основные законы 1-14. Мы приведем данный способ
доказательства, причем вверху над равенствами будем писать либо 1) – это
означает, что используется тождество 1), либо номер используемого
основного закона. Итак,
()
()
()
()
Κ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΚ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΚ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
∪∩∪=∩∪=∪
)5)1
\.
Аналогично можно доказать равенства 3),4),5). Для равенства 4)
приведем еще один способ доказательства – доказательство от противного.
Предположим противное, что множество
()
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
Β
/
∩
не пусто, т.е.
существует хотя бы один элемент
()
∈
∈
∈
⇒
∉
∈
∈
⇒
∈
∈
⇒∩∈
Β
ΒΒ
Β
Α
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Β
ΒΒ
Β
Α
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
Β
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
Β
x
x
x
x
x
x
x
x
x
\
\.
Никакой элемент
x
не может одновременно принадлежать и самому
множеству и его дополнению, поэтому мы пришли к противоречию.
Задача 5
. Пусть
Κ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
,,- такие множества, что
Κ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
Β
⊆⊆
. Найдите
множество
Χ
ΧΧ
Χ
, удовлетворяющее системе уравнений
=∪
=∩
Κ
ΚΚ
ΚΧ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
Α
.
Решение. Из первого уравнения следует, что
Χ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
Β
⊆
, поэтому
Χ
ΧΧ
Χ
можно представить в виде
Χ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
Χ
′
∪=
, где
∅=∩
′
Β
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
Χ
. Из равенств
∅=∩
′′
∪==∩
Β
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
Α
,,
следует, что
∅=
′
∩
Χ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
Α
.
Итак, нам осталось найти множество
Χ
ΧΧ
Χ
′
. Заменим
Χ
ΧΧ
Χ
во втором
уравнении на
Χ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
Χ
′
∪=
. Получим
()
Κ
ΚΚ
ΚΧ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
′
∪∪
. По ассоциативному
закону
()
Κ
ΚΚ
ΚΧ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
′
∪∪
. Из включения
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
Β
⊆
следует, что
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=∪
,
поэтому получаем равносильное уравнение
Κ
ΚΚ
ΚΧ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
Α
=
′
∪
. Два факта

Страницы