Дискретная математика. Азарнова Т.В - 8 стр.

                                     8
Теория множеств
Α ∩ Χ ′ =∅ и Α ⊆ Κ позволяют заключить, что решением последнего
уравнения является множество Χ ′ =Κ \ Α . Окончательно
                            Χ =Β ∪ (K \ Α ).

     Задача 6. Докажите, что условие Α ⊆ Β равносильно каждому из
следующих условий:
                      1) Α ∩ Β =Α ; 2) Α ∪ Β =Β .
     Решение. Докажем, что Α ⊆ Β равносильно условию 1).
Итак, пусть Α ⊆ Β , докажем равенство Α ∩ Β =Α . Равенство будем
доказывать в два включения. Пусть
                            x ∈Α ∩ Β ⇒ x ∈Α .
Обратно, пусть
                  x ∈Α ⇒ Α ⊆Β x ∈Α , x ∈Β ⇒ x ∈Α ∩ Β .
Теперь предположим, что выполнено условие 1), докажем, что Α ⊆ Β .
Рассмотрим
                     x ∈Α ⇒ Α ∩ Β =Α x ∈Α ∩ Β ⇒ x ∈Β .
     Равносильность условия Α ⊆ Β            условию 1) мы доказали,
равносильность условию 2) докажите самостоятельно.

       Задача 7. Докажите для произвольных множеств Α , Β , Κ :
1) если Α ⊄ Β и Α ∩ Κ =∅ , то Α ∪ Κ ⊄ Β ∪ Κ ;
2) если Β ∩ Κ =∅ и Α ∩ Κ ≠∅ , то Α \ Β ≠∅ .
       Решение.1) Нам нужно доказать, что существует хотя бы один элемент
x ′ такой, что x ′ ∈Α ∪ Κ , x ′ ∉Β ∪ Κ . Нам известно, что Α ⊄ Β , поэтому
существует некоторый элемент x * ∈Α и x * ∉Β . В силу условия Α ∩ Κ =∅ ,
данный элемент x * ∉Κ . Таким образом, x * ∈Α ∪ Κ , x * ∉Β ∪ Κ .
      2)Нам нужно доказать, что существует хотя бы один элемент в
множестве Α \ Β . Известно, что Α ∩ Κ ≠∅ , поэтому существует элемент
x * ∈Α , x * ∈Κ , причем, в силу условия Β ∩ Κ =∅ , данный элемент
x * ∉Β . Итак, мы построили элемент x * ∈Α и x * ∉Β .

     Задача 8. Докажите, что для произвольных множеств Α , Β
справедливо равенство Ρ (Α ∩ Β ) =Ρ (Α )∩ Ρ (Β ).
     Решение. Доказательство проведем в виде двух включений, объединив
их одной записью. Пусть
Χ ∈Ρ (Α ∩ Β ) ⇔ Χ ⊆ Α ∩ Β ⇔ Χ ⊆ Α , Χ ⊆ Β ⇔
⇔ Χ ∈Ρ (Α ), Χ ∈Ρ (Β ) ⇔ Χ ∈Ρ (Α )∩ Ρ (Β ).

                 Задачи для самостоятельного решения
     1.Каждое из следующих множеств задайте в виде некоторого интервала
числовой прямой: