Дискретная математика. Азарнова Т.В - 8 стр.

UptoLike

Теория множеств
8
=
Χ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
Α
и
Κ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
Α
позволяют заключить, что решением последнего
уравнения является множество
Α
ΑΑ
ΑΚ
ΚΚ
ΚΧ
ΧΧ
Χ
\
=
. Окончательно
()
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
Χ
\
K=
.
Задача 6
. Докажите, что условие
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
равносильно каждому из
следующих условий:
1)
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
; 2)
Β
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
.
Решение. Докажем, что
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
равносильно условию 1).
Итак, пусть
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
, докажем равенство
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
. Равенство будем
доказывать в два включения. Пусть
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
xx
.
Обратно, пусть
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΑ
ΑΑ
Α
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
xxxx
,
.
Теперь предположим, что выполнено условие 1), докажем, что
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
.
Рассмотрим
Β
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΑ
ΑΑ
Α
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=
xxx
.
Равносильность условия
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
условию 1) мы доказали,
равносильность условию 2) докажите самостоятельно.
Задача 7
. Докажите для произвольных множеств
Κ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
,,:
1) если
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
и
=
Κ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
Α
, то
Κ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΚ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
Α
;
2) если
=
Κ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
Β
и
Κ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
Α
, то
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
\.
Решение.1) Нам нужно доказать, что существует хотя бы один элемент
x
такой, что
Κ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΚ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
Α
xx
,. Нам известно, что
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
, поэтому
существует некоторый элемент
Α
ΑΑ
Α
*
x
и
Β
ΒΒ
Β
*
x
. В силу условия
=
Κ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
Α
,
данный элемент
Κ
ΚΚ
Κ
*
x
. Таким образом,
Κ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΚ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
Α
**
,
xx
.
2)Нам нужно доказать, что существует хотя бы один элемент в
множестве
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
\. Известно, что
Κ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
Α
, поэтому существует элемент
Κ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
Α
**
,
xx
, причем, в силу условия
=
Κ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
Β
, данный элемент
Β
ΒΒ
Β
*
x
. Итак, мы построили элемент
Α
ΑΑ
Α
*
x
и
Β
ΒΒ
Β
*
x
.
Задача 8
. Докажите, что для произвольных множеств
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
,
справедливо равенство
()()()
Β
ΒΒ
ΒΡ
ΡΡ
ΡΑ
ΑΑ
ΑΡ
ΡΡ
ΡΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΡ
ΡΡ
Ρ
=
.
Решение. Доказательство проведем в виде двух включений, объединив
их одной записью. Пусть
()
Β
ΒΒ
ΒΧ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
ΑΧ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΧ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΡ
ΡΡ
ΡΧ
ΧΧ
Χ
,
() () () ()
Β
ΒΒ
ΒΡ
ΡΡ
ΡΑ
ΑΑ
ΑΡ
ΡΡ
ΡΧ
ΧΧ
ΧΒ
ΒΒ
ΒΡ
ΡΡ
ΡΧ
ΧΧ
ΧΑ
ΑΑ
ΑΡ
ΡΡ
ΡΧ
ΧΧ
Χ
,
.
Задачи для самостоятельного решения
1.Каждое из следующих множеств задайте в виде некоторого интервала
числовой прямой: