Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
является решением задачи .
Пример 3.
0,
0)1(
max)3(
2
1
2
3
1
2
2
2
1
≥
≤+−−
→−−−
xx
xx
xx
Решение. На рис. 6 изображено допустимое множество данной задачи .
1
1
Множество не является выпуклым, но из графика видно , что решением
задачи является точка ).0,1(
*
=x Запишем условия Куна- Таккера и проверим,
выполняются ли они в данной точке.
0,,
),)1(()3(),(
121
2
3
11
2
2
2
1
≥
−−+−−−=Φ
yxx
xxyxxyx
,0)2(
),(
,0))1(362(
),(
)
02
),(
,0)1(362
),(
)
2121
1
1
2
1111
1
12
2
2
111
1
=−−=
Φ
=−−+−=
Φ
≤−−=
Φ
≤−−+−=
Φ
xyxx
x
yx
xxyxx
x
yx
b
yx
x
yx
xyx
x
yx
a
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
0))1((
),(
)
,0)1(
),(
)
12
3
11
1
2
3
1
1
=−−=
Φ
≥−−=
Φ
yxxy
y
yx
d
xx
y
yx
c
∂
∂
∂
∂
В точке (1,0) первое условие уже нарушается , т.к. –2+6 >0. Следовательно,
точка оптимума не удовлетворяет системе а) - d). Это произошло потому, что
градиенты ограничений невыпуклой задачи оказались линейно зависимы в
точке (1,0). ( Активными ограничениями являются
1
f
и условие
0
22
≥
=
xf . )1,0()0,1(
1
−
=
∇
f , 0
21
=
∇
+
∇
ff ).
Рис 6.
                                               20
является решением задачи.

Пример 3.
                                    −( x1 −3) 2 −x 22 → max
                                    −(1 −x1 ) 3 +x 2 ≤0
                           x1 , x 2 ≥0
Решение. На рис. 6 изображено допустимое множество данной задачи.



1




                        1
                                  Рис 6.

Множество не является выпуклым, но из графика видно, что решением
задачи является точка x * =(1, 0). Запишем условия Куна-Таккера и проверим,
выполняются ли они в данной точке.
Φ ( x, y ) =−( x1 −3) 2 −x 22 + y1 ((1 −x1 ) 3 −x 2 ),
x1 , x 2 , y1 ≥0
     ∂Φ( x, y )                                          ∂Φ( x, y )
a)              =−2 x1 +6 −3 y1 (1 −x1 ) 2 ≤0,                      =−2 x 2 −y1 ≤0
       ∂x1                                                 ∂x 2
     ∂Φ( x, y )                                         ∂Φ( x, y )
b)              x1 =(−2 x1 +6 −3 y1 (1 −x1 ) 2 ) x1 =0,            x1 =(−2 x 2 − y1 ) x 2 =0,
       ∂x1                                                ∂x1

     ∂Φ( x, y )
c)              =(1 −x1 ) 3 −x 2 ≥0,
       ∂y1
    ∂Φ( x, y )
d)             y1 =((1 −x1 ) 3 −x 2 ) y1 =0
      ∂y1
В точке (1,0) первое условие уже нарушается, т.к. –2+6 >0. Следовательно,
точка оптимума не удовлетворяет системе а) - d). Это произошло потому, что
градиенты ограничений невыпуклой задачи оказались линейно зависимы в
точке (1,0). ( Активными ограничениями являются f 1 и условие
 f 2 =x 2 ≥0 . ∇f 1 (1,0) =(0,−1) , ∇ f 1 +∇ f 2 =0 ).

Страницы