Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 4 стр.

                                        6
                                    n
Определение 3. Множество Ω ⊆ R         называется выпуклым, если оно
содержит отрезок, соединяющий любые две точки из множества Ω , т.е.
если ∀x1 , x 2 ∈Ω и ∀λ ∈[0,1] справедливо: λx 1 +(1 −λ ) x 2 ∈Ω .
Определение 4. Функция f (x), определенная на выпуклом множестве Ω
называется выпуклой , если f (λx 1 +(1 −λ ) x 2 ) ≤λf ( x 1 ) +(1 −λ ) f ( x 2 ),
∀x1 , x 2 ∈Ω, ∀λ ∈[0,1] .
Замечание 1. В дальнейшем будем называть такую функцию выпуклой
вниз. Для выпуклой вверх функции справедливо обратное неравенство:
 f (λx 1 +(1 −λ ) x 2 ) ≥λf ( x 1 ) +(1 −λ ) f ( x 2 ), ∀x1 , x 2 ∈Ω, ∀λ ∈[0,1] .
Определение 5. Задача (1 ) называется задачей выпуклого программирования
(ЗВП) , если f (x) −выпуклая функция , а Ω - выпуклое множество.
        Для задач безусловной оптимизации необходимое условие экстремума
сформулировано в теореме Ферма.
Теорема 1 (Ферма). Если х* - точка локального безусловного экстремума
непрерывно дифференцируемой в т. х* функции f (x) , то все ее частные
производные первого порядка в этой точке равны нулю. (В векторных
обозначениях, ∇ f ( x*) =0 ).
Замечание 2.Точки, удовлетворяющие теореме Ферма, называются
стационарными.
Теорема 2 (Достаточное условие экстремума). Если в стационарной
точке х* ∈R n функция f (x) дважды дифференцируема и матрица ее вторых
частных производных H(x*) (матрица Гессе) положительно определена (т.е.
все ее главные миноры Hk >0, k =1, n ) , то х* - точка локального минимума.
Пример 1. Решить задачу
                         f ( x) =x12 +x 22 +x 32 −x1 −2 x 3 −x 2 x 3 → min
Решение. Запишем систему:
                         � df
                          �                 =2 x1 −1 =0,
                            �          dx1
                              � df                                    � 1 2 4�
                               �            =2 x 2 −x3 =0,     ⇒ x* =� , , �
                                 � dx 2                                � 2 3 3�
                                  � df
                                   �        =2 x3 −2 −2 x 2 =0
                                     � dx 3
Проверим, выполняются ли в полученной стационарной точке достаточные
условия экстремума. Матрица вторых частных производных в данной задаче
                                            � 2 0      0�
                                             �            �
является постоянной: H =� 0 2 −1� . Вычислим главные миноры :
                                               � 0 −1 2 �
                                                �           �