Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 5 стр.

                                              7

H 1 =2 >0, H 2 =2 ⋅ 2 =4 >0, H 3 =2 ⋅ (2 ⋅ 2 +1) =10 >0 ⇒ матрица
                                                              19
положительно определена, т.е. x * −точка минимума. f min =− .
                                                              12
     Для задач с ограничениями-равенствами
                                 f 0 ( x) → min,
                                      f i ( x) =bi , i =1, m
необходимое условие экстремума формулируется в виде принципа Лагранжа.
Теорема 3 (принцип Лагранжа). Пусть х* - точка локального экстремума
функции f 0 (x) , причем f i ( x), i =0, m непрерывно дифференцируемы в

окрестности точки х* и векторы ∇ f i ( x*), i =1, m - линейно независимы. Тогда
существует такой вектор y* ∈R m , что для функции Лагранжа
                                                     m
                             Φ( x, y ) = f 0 ( x) + ∑ y i (bi − f i ( x ))
                                                    i =1
выполняются следующие равенства:
                         � 1) ∇ x Φ( x*, y*) =0
                          �
                            � 2) ∇ y Φ( x*, y*) =0
     При проверке достаточных условий экстремума в некоторых задачах
условной оптимизации можно пользоваться критерием Вейерштрасса.
Теорема 4 (критерий Вейерштрасса). Пусть f (x) - непрерывная функция,
а множество Ω представляет собой компакт. Тогда существуют точки
x min , x max ∈Ω , такие что f ( x
                                   min
                                       ) = min n f ( x ) ,       f ( x max ) = max f ( x) .
                                            x∈Ω ⊆R                           x∈Ω ⊆R n
Пример 2. Найти условный экстремум в задаче
                         f 0 ( x) =x1 +x 2 → extr
                                  f 1 ( x ) =x12 +x 22 =2
Решение. Функции f 0 ( x), f 1 ( x) данной задачи являются непрерывно
дифференцируемыми. Ограничение здесь единственно, поэтому линейная
независимость градиентов ограничений может быть нарушена лишь в случае,
когда ∇ f 1 ( x ) =0, т.е. ( 2 x1 ,2 x 2 ) =(0,0 ) ⇒ x1 =x 2 =0 . Oднако точка (0,0) не
является допустимой в данной задаче и, следовательно, не является
решением. Воспользуемся принципом Лагранжа. Функция Лагранжа имеет
вид
Φ( x, y ) =x 1 +x 2 + y 1 (2 −x12 −x 22 )
Выпишем необходимые условия экстремума