Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
,
),(
)
,
),(
,
),(
)
=−−=
∂
Φ∂
=−=
∂
Φ∂
=−=
∂
Φ∂
0xx2
y
yx
2
0xy21
x
yx
0xy21
x
yx
1
2
2
2
1
1
21
2
11
1
Вычитая из первого уравнения второе, получаем .)( 0xxy2
121
=
−
Равенство
0y
1
=
невозможно , так как в противном случае первые два уравнения
системы несовместны . Значит,
21
xx
=
. Использовав это условие в последнем
уравнении, находим подозрительные на экстремум точки :
A: ;/,,
***
21y1x1x
121
=== B: 21y1x1x
121
/,,
***
=−=−= .
Допустимое множество в исходной задаче представляет собой окружность, а,
следовательно, компакт. Как следует из критерия Вейерштрасса, среди
подозрительных на экстремум точек данной задачи должны быть точка
максимума и точка минимума. Так как ),(),( 11f11f
00
<
−
−
, то точка В
является точкой минимума и 2f
0
−=
min
, а точка А - точкой максимума и
2f
0
=
max
.
Пример 3. Найти условный экстремум в задаче
4xxxf
xxx4x3xf
21
1
2
2
2
1
21
2
10
=+=
→++=
)(
min)(
Решение. Функции )(),( xfxf
10
данной задачи являются непрерывно
дифференцируемыми . Ограничение здесь линейное,
−
=
∇
)1,1()(
1
xf линейно
независимая система.
1. Запишем функцию Лагранжа:
)4(43),(
21
1
2
2
2
1
21
2
1
xxyxxxxyx −−+++=Φ
2. Выпишем необходимые условия экстремума
=−−=
∂
Φ∂
=−+=
∂
Φ∂
=−+=
∂
Φ∂
04
),(
)2
,04
),(
,046
),(
)1
21
1
121
2
121
1
xx
y
yx
yxx
x
yx
yxx
x
yx
=
−=
=
⇒
40
,8
,12
*
1
*
2
*
1
y
x
x
Допустимое множество в исходной задаче представляет собой прямую , т.е.
не является компактом.
3. Посчитаем вторые частные производные по х для функции Лагранжа :
4
),(
,1
),(
,6
),(
2
1
2
2
2
2
2
1
2
=
Φ
=
Φ
=
Φ
dxdx
yxd
dx
yxd
dx
yxd
. 
                                                8
     �      ∂Φ( x, y )
     � 1)              =1 −2 y 1 x1 =0,
     �        ∂x1
     �       ∂Φ( x, y )
     �                  =1 −2 y 1 x 2 =0, ,
     �         ∂x 2
     �    ∂Φ( x, y )
     � 2)            =2 −x12 −x 22 =0
      �      ∂y1
Вычитая из первого уравнения второе, получаем 2 y 1 ( x 2 −x1 ) =0. Равенство
 y 1 =0 невозможно, так как в противном случае первые два уравнения
системы несовместны. Значит, x1 =x 2 . Использовав это условие в последнем
уравнении, находим подозрительные на экстремум точки:
        A: x1* =1, x 2* =1, y 1* =1 / 2; B: x1* =−1, x 2* =−1, y 1* =1 / 2 .
Допустимое множество в исходной задаче представляет собой окружность, а,
следовательно, компакт. Как следует из критерия Вейерштрасса, среди
подозрительных на экстремум точек данной задачи должны быть точка
максимума и точка минимума. Так как f 0 ( −1, −1) < f 0 (1,1) , то точка В
является точкой минимума и f 0min =−2 , а точка А- точкой максимума и
f 0max =2 .
Пример 3. Найти условный экстремум в задаче
                    f 0 ( x) =3 x12 +4 x1 x 2 + 12 x 22 → min
                                              f 1 ( x ) =x1 +x 2 =4
        Решение. Функции f 0 ( x), f 1 ( x) данной задачи являются непрерывно
дифференцируемыми. Ограничение здесь линейное, ∇ f 1 ( x ) =(1,1) − линейно
независимая система.
1. Запишем функцию Лагранжа:
                                    Φ( x, y ) =3 x12 +4 x1 x 2 +12 x 22 + y1 ( 4 −x1 −x 2 )
2. Выпишем необходимые условия экстремума
                   � ∂Φ( x, y )
                    � 1)                             =6 x1 +4 x 2 − y1 =0,
                     �                   ∂  x1                                      � x1* =12,
                       �               ∂Φ( x, y )                                    ��
                         �                             =4 x1 +x 2 − y1 =0,       ⇒ � x 2* =−8,
                           �               ∂x 2                                         � *
                             �        ∂Φ( x, y )                                         �� y1 =40
                               � 2)                   =4 −x1 −x 2 =0
                                �         ∂y1
Допустимое множество в исходной задаче представляет собой прямую, т.е.
не является компактом.
3. Посчитаем вторые частные производные по х для функции Лагранжа :
d 2 Φ ( x, y )                    d 2 Φ ( x, y )         d 2 Φ ( x, y )
               =6,                                 =  1,                =4 .
    dx12                              dx 22               dx1 dx 2

Страницы