Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 7 стр.

                                                   9
4. Составим второй дифференциал               d 2 Φ( x*, y*) =6dx12 +8dx1 dx2 +dx22 .
Продифференцировав уравнение связи x1 +x 2 =4 , получим dx1 =−dx 2 .
Подставим это выражение в дифференциал :
d 2 Φ( x*, y*) =6dx22 −8dx22 +dx22 =−dx22 . Так как d 2 Φ( x*, y*) <0 , то точка x*
является точкой максимума.
        При решении большинства               задач проверка условия линейной
независимости векторов ∇ f i ( x*), i =1, m затруднена, так как точка х*
заранее неизвестна. Однако это требование является существенным.
Проиллюстрируем это на следующем примере.
Пример 4. Найти условный экстремум в задаче
                                f 0 ( x ) =x1 → min
                                       f 1 ( x ) =−x13 +x 22 =0
Решение.
1. Запишем функцию Лагранжа:
                                      Φ( x, y ) =x 1 +y 1 ( x13 −x 22 )
2. Выпишем необходимые условия экстремума
                      �                 ∂Φ ( x, y )
                        � a ) ∂x                    =1 +3 y1 x12 =0 ,
                         �                     1
                           �             ∂Φ ( x, y )
                             �                       =−2 y1 x2 =0,
                               �            ∂ x 2
                                 �      ∂Φ ( x, y )
                                   � b)             =x13 −x22 =0
                                    �      ∂y1

Из второго равенства следует, что либо y 1 =0, либо x 2 =0 .
 При y 1 =0 первое равенство невозможно (1=0), значит x 2 =0 . Но из
третьего равенства получаем x 2 =0 и первое равенство снова           не
выполняется (1=0). В итоге получаем, что система несовместна и точек,
подозрительных на экстремум, нет.
      Однако, проанализировав исходную постановку задачи, нетрудно
убедиться, что она разрешима. Из ограничения следует, что x1 ≥0 (так как
x1 =(3 x 2 ) 2 ). Поэтому точка x*=(0,0) является решением данной задачи.
Принцип Лагранжа не работает, потому что в точке x* нарушено требование
линейной независимости градиентов: ∇ f 1 ( x*) =( −3( x1* ) 2 ,2 x 2* ) =(0,0 ) .
Чтобы избежать проверки линейной независимости градиентов в
рассмотрение вводится так называемая расширенная функция Лагранжа:
                     ~ ( x, y , y ) = y f ( x) + m y (b − f ( x))
                     Φ            0          0 0         ∑      i   i     i
                                                         i =1
Теорема 5 (расширенный принцип Лагранжа). Пусть х* - точка локального
экстремума функции f 0 (x) , причем f i ( x), i =0, m непрерывно