Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
x
2
x
1
0
1
2
3
1
2
3
.
(4,2)
.
X*
Рис.1
1)
extrxx2xxxx
21
2
221
2
1
→+−+−
2) extr)xx(xx →+−+
2
21
4
2
4
1
3. Найти условный экстремум в задачах :
1)
4x1x
extrxx
2
2
2
1
2
2
2
1
=+−
→+
)(
2)
1xx
extrxx
2
2
2
1
2
2
2
1
=+
→−
3)
1xx
extrx3x4
2
2
2
1
21
=+
→+
4. Решить задачу с помощью расширенной функции Лагранжа
1)
0xx3xx
extrx
21
3
2
3
1
2
=−+
→
2)
0xxx2x2
extrx
21
2
2
2
1
2
1
=−+
→
5. Доказать, что ограничение вида
ii
bxf
)( можно эквивалентно
переписать как ограничение-равенство с помощью введения новой
переменной :
i
u
i
2
ii
buxf =+ )( .
6. Получить необходимые условия экстремума для задач
a)
0
x
extrxf
≥
→
)(
; b)
bxf
extrxf
1
0
≤
→
)(
)(
,
cведя их к задачам с
ограничениями -равенствами .
7. (Задача Аполлония) Провести из
данной точки к данному эллипсу
отрезок минимальной длины .
8. (Задача Штейнера) Найти
такую точку в плоскости , чтобы
сумма расстояний от нее до трех
заданных точек была
минимальной .
9. Найти расстояние от точки в пространстве
n
R
до заданной прямой .
§ 2. Графическое решение задач нелинейного
программирования.
Если допустимое множество
,
2
R⊂Ω
то задача оптимизации, как
правило, может быть решена графически .
Определение. Кривые, задающиеся уравнениями Cxxf
21
),( ,
называются линиями уровня функции ),(
21
xxf .
Пример 1. Решить графически задачу нелинейного программирования
min,)()(),( →−+−=
2
2
2
1
2x4xyxf
)(,
)(,
24x2x
13xx
21
21
≤+
                                           11
   1)                                           x12 −x1 x 2 +x 22 −2 x1 +x 2 → extr
    2) x14 +x 24 −( x1 +x 2 ) 2 → extr
3. Найти условный экстремум в задачах:
        x12 +x 22 → extr            x12 −x 22 → extr                 4 x +3 x 2 → extr
    1)                           2)                             3) 1
        ( x1 −1) 2 +x 22 =4         x1 2 +x 22 =1                    x1 2 +x 22 =1
4. Решить задачу с помощью расширенной функции Лагранжа
         x 2 → extr                      x12 → extr
     1)                              2)
           3     3
         x1 +x 2 −3 x1 x 2 =0            2 x12 +2 x 22 −x1 x 2 =0
5. Доказать, что ограничение вида f i ( x) ≤bi можно эквивалентно
переписать как ограничение-равенство с помощью введения новой
переменной u i : f i ( x) +u i2 =bi .
6. Получить необходимые условия экстремума для задач
                                                               f ( x ) → extr
3                                                         a)                   ;       b)
       x2                                                      x ≥0
                                                     f 0 ( x) → extr
2
                                   .(4,2)
                                                      f 1 ( x) ≤b
                                                                          ,

                                                   cведя их к задачам с
                                                   ограничениями-равенствами.
1
                       .    X*                     7. (Задача Аполлония) Провести из
                                                   данной точки к данному эллипсу
                                                   отрезок минимальной длины.
   0                                x1             8. (Задача Штейнера) Найти
              1      2        3
                                                   такую точку в плоскости, чтобы
                 Рис.1                             сумма расстояний от нее до трех
                                                   заданных точек была
минимальной.
9. Найти расстояние от точки в пространстве R n до заданной прямой.

     § 2. Графическое решение задач нелинейного
                 программирования.
     Если допустимое множество Ω ⊂ R 2 , то задача оптимизации, как
правило, может быть решена графически.
     Определение. Кривые, задающиеся уравнениями f ( x1 , x 2 ) =C ,
называются линиями уровня функции f ( x1 , x 2 ) .
Пример 1. Решить графически задачу нелинейного программирования
                   f ( x, y ) =( x1 −4 ) 2 +( x 2 −2) 2 → min,
                                  x1 +x 2 ≤3, (1)
                                   x1 +2 x 2 ≤4, (2)

Страницы