Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
x
2
x
1
.
.
1
1
Рис. 3.
Ответ: )9,5(
max
X )4,2(
min
X
Пример 3.
extrx2xxxf
2121
→
},max{),(
2xx2
21
Решение. Допустимое множество
задачи изображено на рис.3. Линиями
уровня целевой функции являются
концентрические квадраты с центром в
точке (2,0) и задающиеся уравнением
Cx2x
21
},max{ . Минимальному
значению целевой функции соответствует
квадрат с минимальной стороной ,
пересекающий допустимую область.
Из графика видно, что такой квадрат
будет касаться границы допустимой области в двух точках . Координаты
точек находятся из условий:
=−
=−
||||
||||
21
21
x2x
2xx2
. Для той точки , которая лежит
в первой четверти
21
x02x0
, , поэтому система принимает вид:
,
=−
=−
21
21
xx2
2xx2
откуда .,
3
2
x
3
4
x
1
2
1
1
== Вторая точка симметрична данной
относительно оси Ох, поэтому ее координаты имеют вид .,
3
2
x
3
4
x
1
2
1
1
−==
При неограниченном увеличении стороны квадрата, линии уровня будут
продолжать пересекать допустимую область, поэтому
+∞
Ω
),(sup yxf .
Ответ: )
3
2
,
3
4
(),
3
2
,
3
4
(
2
min
1
min
−== XX ,
+∞
Ω
),(sup
21
xxf
.
Пример 4.
,)5(),(
2121
extrxxxxf
→
3
2
2
2
1
≤+ xx
Решение: Допустимое множество задачи
изображено на рис.4. Линиями уровня
целевой функции являются гиперболы с
асимптотами x
1
=5, x
2
=0 и задающиеся
уравнением
Cxx
21
)5(
. Минимум
функции будет достигаться при С <0,
максимум – при С >0. Обе точки являются
точками касания окружности и гиперболы .
Координаты точки касания находим,
Рис 4.
                                          13



Ответ: X max =(5,9) X min =( 2,4)

            x2                         Пример 3.
                                        f ( x1 , x 2 ) =max{ x1 −2 , x 2 } → extr
                                       2 x1 − x 2 ≤2
                                                 Решение. Допустимое множество
                                       задачи изображено на рис.3. Линиями
          1    .                       уровня целевой функции являются
                                       концентрические квадраты с центром в
               .1             x1       точке (2,0) и задающиеся уравнением
                                       max{ x1 −2 , x 2 } =C .           Минимальному
                                       значению целевой функции соответствует
                                       квадрат            с минимальной стороной,
            Рис. 3.                    пересекающий допустимую область.
                                        Из графика видно, что такой квадрат
будет касаться границы допустимой области в двух точках. Координаты
                               � 2 | x1 | −| x 2 |=2
точек находятся из условий: �                           . Для той точки, которая лежит
                                 |
                                � 1x  −  2 |= | x 2 |
в первой четверти 0 ≤x1 ≤2, 0 ≤x 2 , поэтому система принимает вид:
� 2 x1 −x 2 =2                 4          2
 �              , откуда x11 = , x 21 = . Вторая точка симметрична данной
   � 2 −x1 =x 2                3          3
                                                                             4      2
относительно оси Ох, поэтому ее координаты имеют вид x11 = , x 21 =− .
                                                                             3      3
При неограниченном увеличении стороны квадрата, линии уровня будут
продолжать пересекать допустимую область, поэтому sup f ( x, y ) =+∞.
                                                              Ω
               4 2           4 2
Ответ: X min
         1
             =( , ), X min
                       2
                           =( ,− ) , sup f ( x1 , x 2 ) =+∞.
               3 3           3 3         Ω
Пример 4.
                               f ( x1 , x2 ) =( x1 −5) x2 → extr ,
                                    x12 +x 22 ≤3
                                    Решение:     Допустимое множество задачи
                                    изображено на рис.4. Линиями уровня
                                    целевой функции являются гиперболы с
                                    асимптотами x1 =5, x2 =0 и задающиеся
                                    уравнением ( x1 −5) x 2 =C .   Минимум
                                    функции будет достигаться при С<0,
                                    максимум – при С>0. Обе точки являются
                                    точками касания окружности и гиперболы.
                                    Координаты точки касания        находим,

      Рис 4.

Страницы