Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 10 стр.

                                             12
                  x1 , x 2 ≥0
           Решение: Допустимое множество задачи изображено на рис.1
Линиями уровня целевой функции являются концентрические окружности с
центром в точке (4,2).            Минимальному значению целевой функции
соответствует          окружность   минимального   радиуса,   пересекающая
допустимую область. Такая окружность будет касаться границы области на
прямой (1). Дальнейшее уменьшение радиуса приводит к линиям уровня, не
имеющим общих точек с областью.
Координаты точки касания можно найти, приравнивая значения производных
( x 2 ) 'x1 из уравнений прямой и окружности. Дифференцируя уравнение
окружности ( x1 −4 ) 2 +( x 2 −2) 2 =C , и рассматривая x 2 как                      неявную
функцию от x1 , получим
                   2( x −4)
     ( x 2 ) 'x1 =− 1         . Из уравнения прямой находим ( x 2 ) 'x1 =-1.         В итоге
                   2( x 2 −2)
                                                 2( x −4)
выписывается равенство: −1 =− 1                             , т.е. x 2 −2 =x1 −4 .   Добавив
                                                 2( x 2 −2)
уравнение прямой, которой принадлежит точка касания, получим                         систему:
� x1 +x 2 =3,                                                     5 1
 �                   . Ее решением является точка X * =( , ) .
   � x 2 =x1 −2                                                   2 2
Пример 2.
                           f ( x1 , x 2 ) =2( x1 −2) 2 +( x 2 −4) 2 → extr ,
                                          −x1 +x 2 ≤4,        (1)
                            −9 x12 +25 x 2 ≥0, (2)
                                   x1 , x 2 ≥0
Решение:        Допустимое множество задачи изображено на рис.2. Линиями
уровня целевой функции являются концентрические эллипсы с центром в
точке (2,4) и задающиеся уравнением 2( x1 −2) 2 +( x 2 −4) 2 =C . Поскольку
                                            точка     (2,4)           принадлежит
    x2               .
                   X max                    допустимому множеству, то она и
                                            будет являться точкой минимума
                                            задачи. Из графика видно, что
                                            максимальному значению функции
                                            соответствует                    эллипс,
                                            пересекающий границу области в
        . X min
                                            точке X max .
                                            Координаты этой точки находятся из
                                            условия пересечения прямой и
                                                          � −x1 +x 2 =4
                                x1          параболы: �           2
                                                                                  ,
                                                           � −9 x 1 +25 x 2 =0
             Рис 2.                         откуда x1 =5, x 2 =9.